Побудова кривої за точками 3 1 загальні поняття - стор
3. Побудова кривої по точках
3.1.Загальні поняття
В інженерній практиці часто використовують сукупності точок, абсциси яких різні, одержані в результаті експериментів. Призначення чисельних методів полягає у визначенні залежності, яка пов'язує цей набір точок. Інакше кажучи, у разі чисельні методи визначають клас допустимих формул, коефіцієнти яких мають бути визначені. Існує безліч різних типів функцій, якими можна скористатися. Розглянемо клас лінійних функцій виду: . Усі розглянуті раніше методи дозволяли отримати поліноми, досить добре апроксимуючі чи інтерполюючі дані за умови, що це досить точні, тобто. точки отримані принаймні з п'ятьма знаками точності. Проте найчастіше у вимірах експериментальна помилка досить велика, тобто. справжнє значення задовольняє рівності , де помилка виміру.
Щоб визначити, наскільки далеко від даних лежить крива , можна скористатися такими нормами:
приклад. Порівняємо помилки для лінійного наближення функції за заданою таблицею крапок
Обчислимо всі три види помилок:
Отже, побудована найкраще лінія визначається мінімізацією однієї із заданих величин. У зв'язку з тим, що третю норму легко мінімізувати, вибирають її.
3.2.Метод найменших квадратів
Метод найменших квадратів застосовується для вирішення наступних завдань:
Необхідно визначити величини х 1 , х 2 ,…, х N , які не можна визначити безпосередньо, але відомо, що вони лінійно залежні, а коефіцієнти цієї залежності можна отримати в результаті вимірів. Таким чином, ми маємо перевизначену системулінійних рівнянь алгебри. Вирішення цієї системи може бути отримане рішенням задачі мінімізації. Виконуючи диференціювання мінімізованої функції , приходимо до лінійної системи, яка матиме N рівнянь та N невідомих.
Потрібно дати наближений аналітичний опис за таблично заданими даними. З будь-яких міркувань підбирається апроксимуюча функція, а параметри цієї функції підбираються так, щоб сума квадратів відхилень значень апроксимуючої функції від заданих була мінімальною.
3.2.1.Лінеаризація даних за методом найменших квадратів.
Техніка лінеаризації даних застосовується для припасування кривих, що дозволяють при перетворенні змінних отримати лінійну залежність виду. У таблиці наведено основні прийоми лінеаризації.
Таблиця заміни змінної для методу лінеаризації даних