Побудова Markowitz Model для українського ринку цінних паперів
Написано admin в Листопад 3, 2011. Опубліковано в Ринок цінних паперів
Портфель – це сукупність фінансових активів, об'єднаних разом для реалізації цілей інвестора, для максимізації прибутку та мінімізації збитків. У Markowitz Model допустимими є лише стандартні портфелі, портфелі без коротких позицій (без продажів), тобто портфель, що складається тільки з куплених акцій. Звідси перше обмеження, яке накладається на портфель, це позитивні частки всіх цінних паперів (хi).
Друге обмеження полягає в тому, що сума всіх часток цінних паперів повинна становити 1, це правило нормування часток. Формула показує це обмеження:
Так само прибутковість портфеля буде виглядати як сума прибутковостей окремих акцій з обраними ваговими коефіцієнтами. Оскільки кожен інвестор намагається максимізувати прибутковість, то необхідно буде максимізувати цю цільову функцію. У результаті це буде виглядати у вигляді формули:
Крім прибутковості інвестору необхідно також врахувати і ризик, пов'язаний з тією чи іншою акцією.
Ризик Markowitz виражається у вигляді середньоквадратичного відхилення δi кожної акції. Значення δр – це рівень прийнятного ризику для інвестора. Крім обліку середньоквадратичного відхилення окремих акцій необхідно врахувати кореляцію між доходностями акцій - rij. Кореляція у нашому випадку для Markowitz Model дорівнює нулю. У результаті ризик всього портфеля представлений формулою:
Економіко-математична модель завдання формування оптимального портфеля акцій максимальної ефективності, при якій ризик портфеля не перевищує заданого значення δр, і при врахуванні всіх обмежень на портфель, прийме наступнийвид :
Приклад складання портфеля Markowitz для українського фондового ринку
Наприклад візьмемо акції 4-х українських компаній Газпром (GAZP), Дальзв'язок (DLSV), Сургутнафтогаз (SNGS) та Роснефть (ROSN).
Побудуємо на основі котирувань оптимальний портфель. Для знаходження оптимального портфеля Markowitz Model скористаємося засобами Excel і компонентом Solver (Пошук рішень). – Для початку розрахуємо денну дохідність за кожною акцією за один рік. Формула розрахунку денної прибутковості (mj) представлена:
де: Рj - ціна акції на кінець поточного дня; Рj-1 – ціна акції за попередній день. У результаті повинна вийде наступна таблиця добових доходностей кожної з акцій:
Щоб розрахувати дохідність кожної акції необхідно знайти середню дохідність акції за вибраний період, у разі 1 рік. Середньоденна доходність за весь період склала для GAZP = -0,02%, DLSV = 0,28%, SNGS = 0,05% та ROSN = 0,08%. Оскільки середня дохідність Газпрому негативна, то ця акція не буде включена в портфель.
- Крім прибутковості необхідно розрахувати ризик цих акцій, для цього розрахуємо середньоквадратичне відхилення денних прибутковостей акцій за формулою: Для Дальзв'язку (DLSV) δ1 =1,73% , Сургут нафтогазу (SNGS) δ2 = 1,98% Роснафти (ROSN) δ3 = 2,05%.
– Складемо рівняння для знаходження оптимального портфеля. Також задамо допустимий максимальний рівень ризику в 0,15%.
– Залишилося вирішити отримане рівняння та розрахувати частки кожної акції, для цього скористаємося вбудованим у пакет Excel надбудови «Пошук рішень».
– Після запуску надбудови «Пошук рішень» встановимо цільову функцію, це прибутковість всього портфеля. Після цього поставимо прапорець на максимізацію значення цільової функції. Осередки будуть відповідати частки акцій, які необхідно знайти. Так само необхідно накласти обмеження на те, щоб сума всіх часток дорівнювала 1, і що кожна частка була не негативна і загальний ризик портфеля був би менше 0,15%. У осередку із загальним ризиком (D7) прописується така формула:
Цільова функція в комірці (F3) дорівнює:
У комірці (D6) прописується обмеження для портфеля:
Після виконаної роботи визначаться частки в інвестиційному портфелі для кожної акції:
Розрахунок оптимального портфеля Markowitz Model представлений на малюнку нижче.
Оптимальний портфель складатиметься з 85,38% акцій Дальзв'язку (DLSV), 3,66% акцій Сургутнафтогазу (SNGS) та 10,96% акцій Роснефти (ROSN). Дохідність всього портфеля становитиме 0,24% при загальному встановленому заздалегідь ризик портфеля в 0,15%.