Побудова розгорток
Розгорткою називається фігура, отримана при поєднанні поверхні з площиною. Природно, що замкнута поверхня може бути поєднана з площиною без розривів. Попередньо поверхню розрізають деякими лініями, а потім поєднують її з площиною. Побудова розгорток поверхонь становить великий практичний інтерес при конструюванні різних споруд та виробів з листового матеріалу. На розгортці зберігаються довжини ліній, що лежать на поверхні, величини кутів між лініями та площею фігур, утворених замкнутими лініями. Для побудови розгортки поверхні необхідно знати закон перетворення напрямних ліній поверхні лінії на площині розгортки і закон розподілу прямих ліній, відповідних утворюючим поверхні. Закон перетворення поверхні на розгортку може бути заданий як аналітичними залежностями, так і графічним алгоритмом.
Вже в перших творах з накреслювальної геометрії добре відпрацьовані алгоритми побудови точних розгорток циліндра, конуса і торса гелікоїда (відкритої гвинтової поверхні). Під розгорткою поверхні розуміється поєднання частини (відсіку) поверхні із площиною. Частина циліндра розрізається однією з утворюючих і поєднується з площиною. Розгортка бічної поверхні прямого кругового циліндра зображується у вигляді прямокутника заввишкиlі довжиноюπd, деl– довжина утворюючої циліндричної поверхні,d– діаметр основи циліндра (рис. 5.19).
Мал. 5.19. Розгорнення прямого кругового циліндра
Крім прямих ліній вигину та кручення на розгортці можна провести безліч інших прямих ліній, яким на поверхні відповідають геодезичні лінії, що визначають найкоротші відстані між точками поверхні. нациліндричної та конічної поверхні геодезичною лінією є гвинтова лінія.
Розгорткою прямого кругового конуса є сектор кола з радіусомlі кутомφ, рівним або2π∙cosβ, деl– довжина утворює,d– діаметр основи конуса (рис. 5.20). Конус і циліндр розглядаються як окремий випадок поверхні з ребром повернення, коли ребро повернення вироджується в кінцеву і нескінченно-віддалену точку. Конічна поверхня також має дві підлоги, що лежать з різних боків від вершини конуса.
Мал. 5.20. Розгорнення прямого кругового конуса
На рис. 5. 21 наведено приклад побудови розгортки однієї підлоги гелікоїда, обмеженого ребром повернення (гелісою – циліндричною гвинтовою лінією з діаметромd), горизонтальними площинами з відстанню між нимирівноюh(заввишкиh ). Поверхня розрізається по ребру повернення і з утворюють і поєднується з площиною. Гвинтова лінія на розгортці перетворюється на дугу кола з радіусомρі кутомφ. Довжина дуги кола дорівнює довжині гвинтової лінії (L=π d/cosβ). Величину радіусуρвизначимо з рівності2 π ρ φ/360°= π d/cosβ. Звідкиρ = d 180°/cosβ∙φ. Утворюючі гелікоїда паралельні утворюючим напрямного конуса, звідси сума кутів між утворюючими гелікоїда дорівнює сумі кутів між напрямними конуса (φ = 2π∙cosβ). Якщо замістьφпідставити його значення, отримаємоρ = d / 2cosβ 2.
Поверхня з ребром повернення має дві підлоги, що лежать з різних боків від точок торкання. Якщо ребром повернення є плоска крива лінія, то поверхня перетворюється на площину.
На лінійних поверхнях загального виду можна виділити лінії стиснення (горло однопорожнинного гіперболоїду, лініязвуження косої площини, стрикційні лінії циліндроїда і т.п.), на яких перетинаються прилеглі утворюючі поверхні. Лінії стиснення є аналогом ребра повернення, з тією лише різницею, що ті, що утворюють, не стосуються лінії стиснення, а перетинають її під будь-яким кутом. Поверхні циліндричні, конічні та з ребром повернення можна отримати з площини розгортки за допомогою деформації вигину. Лінійчасті поверхні загального вигляду виходять із площини розгортки за допомогою деформації кручення та вигину. Відзначимо також, що з площини розгортки можна за допомогою вигину отримати поверхню тільки теоретично, а наявність деформацій стиснення і розтягування неминуче, так як не існує виробів без товщини.
 |
Мал. 5. 21. Розгорнення евольвентного (відкритого) гелікоїда
Розгортка поверхні відсіку прямого закритого гелікоїда з крокомНі діаметром гвинтової циліндричної лініїdявляє собою неповне кільце (рис. 5.22). Крок гвинтової поверхні розгортається в довжину дуги кола діаметромd1, тоді,Н = d1 ∙ φ/360°. Визначимо величину кутаφз отриманої залежності: φ= Н ∙360°/π d1.Гвинтова лінія розгортається в довжину дуги кола діаметромD. Тоді,L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360°.D = d + d1. Підставимо значенняDу попередній вираз:L = πd/cosβ = π(d + d1) ∙ φ/360°. Визначимо величину кутаφ,φ=πd360°/cosβ(d + d1). Розмір діаметраd1може визначено з порівняння формул для визначення кутаφ:d1 = Нd cosβ/(π 2 d – Нcosβ)абоd1 = d sinβ /(π -sinβ).
Мал. 5.22. Розгорнення прямого закритого гелікоїда
Розгортка поверхні відсіку кільцевого закритого гелікоїда зкрокомНі діаметрами внутрішньої та зовнішньої циліндричних гвинтових лінійdіd׳ також є неповне кільце (див. рис. 5.22). Внутрішня гвинтова лінія розгортається в довжину дуги кола діаметромd׳. . Визначимо величину кутаφ,φ=d360°/cosβ d׳. Зовнішня гвинтова лінія розгортається в довжину дуги кола діаметромD. Тоді,L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360°.D = (d - d׳) + d1. Підставимо значенняDу попередній вираз:L = πd/cosβ = π(d – d׳+ d1) ∙ φ/360°. Визначимо величину кутаφ,φ=d360°/cosβ(d – d׳+d1).
Розгорткою поверхні відсіку закритого косого гелікоїда є закручене кільце, що утворюють поверхні на розгортці стосуються кола деякого радіусу. Розгорткою поверхні відсіку однопорожнинного гіперболоїда обертання є закручене кільце, що утворюють поверхні на розгортці стосуються кола деякого радіусу. Горло поверхні розгортається в дугу кола внутрішньої дуги кола, а основа однопорожнинного гіперболоїда розгортається в дугу кола зовнішньої дуги кола. Для побудови розгортки лінійчастої поверхні необхідно знати закон перетворення напрямних ліній поверхні в лінії на площині розгортки та закон розподілу прямих ліній, що відповідають утворюючим поверхні. Закон перетворення поверхні на розгортку може бути заданий як аналітичними залежностями, так і графічним алгоритмом. Розгортання лінійної поверхні будується для однієї підлоги обмеженої частини поверхні. Поділ поверхні на підлогу відбувається по лінії стиснення.
Якщо невідома закономірність переходу від поверхні до розгортки, тобудується наближена розгортка. Для цього поверхня замінюється вписаною або описаною багатогранною поверхнею та будується її розгортка. Якщо поверхня розбивається на множину трикутників, то спосіб називається тріангуляцією. Побудова розгортки пов'язані з визначенням натуральної величини кожної грані. Розглянуті на попередніх лекціях метричні завдання є складовою побудови розгортки. Побудова розгорток – це комплексне метричне завдання, в якому важливо раціонально організувати графічні побудови, щоб досягти точності та швидкості побудови.
Для усіченого циліндра та конуса, також для похилих циліндричних і конічних поверхонь та інших поверхонь будують наближені розгортки, оскільки недостатньо досліджено питання побудови розгорток: необхідно встановити геометричний проекційний зв'язок між поверхнями та їх розгортками.
Розглянемо приклад побудови розгортки призми методом розкочування та методом нормального перерізу. Розріжемо призму по ребруАА׳ і обертатимемо її грані навколо ребер до суміщення з фронтальною площиною, що проходить через реброАА׳ . КрапкиВ,В׳,СіС׳ при обертанні переміщаються в площинах, перпендикулярних до ребрів (рис.5.23). Від точкиА2проведемо дугу радіусомА1В1до перетину з перпендикуляром зВ2доА2А2і отримаємоВ. Аналогічно отримуємо інші точки. Прилаштуємо нижню та верхню основи та отримаємо повну розгортку призми. Розсічемо призму площиноюα, перпендикулярною до ребрів, і визначимо натуральну величину перерізуА"В"С"׳,наприклад, сумісивши його зπ1<3 Нормальний перетин розгортається в пряму лініюАоВоСо.
| С2׳ |
Мал. 5.23. Розгорнення похилої призми
На практиці для нерозривних нелінійчастих поверхонь також будують розгортки, для цього їх апроксимують поверхнями, що розгортаються (розбивають їх на частини, які замінюють площинами або поверхнями, що розгортаються, тобто вписують або описують навколо них кілька циліндричних, конічних або інших поверхонь), а потім для них розгортки. Отримана розгортка всієї поверхні є умовною, оскільки складається з безлічі окремих плоских фігур, для отримання поверхні їх необхідно склеювати між собою та окремі ділянки піддавати стиску та розтягуванню. Чим більша кількість розбиття, тим менше шматочки, на які розпадається поверхня. Це важлива відмінність умовної розгортки від наближеної.