Подвійне відношення

1. Визначення та доказ інваріантності. Якщо довжина відрізка прямий є свого роду ключ до метричної геометрії, то існує і в проектній геометрії одне основне поняття, за допомогою якого можуть бути виражені всі характерні властивості фігур.

Припустимо, що три точки A, B та C розташовані на одній прямій. Проектування, взагалі кажучи, змінює не тільки відстань AB

і BC, а й їхнє відношення BC AB . Насправді, будь-які три точки A, B,

C на прямій l можуть бути переведені в будь-які три точки A 0 , B 0 , C 0 на прямий l 0 за допомогою двох проектованих послідовно вироблених. Щоб у цьому переконатися, обертатимемо пряму l 0 біля точки C 0 , поки вона не прийме положення l 00 , паралельного l (рис. 74). Потім, проектуючи l на l 00 паралельно прямий CC 0 отримаємо три точки A 00 B 00 і C 00 (C 0 ). Прямі A 0 A 00 і B 0 B 00 перетнуться в точці O, яку ми виберемо як центр другої проекції. Послідовно виконані дві проекції дають необхідний результат 1 .

Мал. 74. Проектування трьох точок

З доведеного випливає, що жодна величина, яка визначається лише трьома точками на прямій, не може бути інваріантною при проектуванні. Але в цьому полягає вирішальне відкриття в проективній геометрії — якщо на прямій дано чотири точки A, B, C, D, які при проектуванні переходять у точки A 0 , B 0 , C 0 , D 0 інший прямий, то деяка величина, яка називається подвійним ставленням цих чотирьох точок при проектуванні не змінює числового значення. У цьому полягає математична властивість системи чотирьох точок на прямій, яка має інваріантний характер і яку можна виявити у будь-якій проекції аналізованоїпрямий. Подвійне відношення не є ні відстань, ні відношення відстаней, а відношення двох таких відносин: якщо ми складемо відносини

ПРОЕКТИВНА ГЕОМЕТРІЯ. АКСІОМАТИКА

то їхнє ставлення

за визначенням є подвійне відношення чотирьох точок A, B, C, D,

взятих у зазначеному вище порядку.

Переконаємося тепер, що подвійне відношення чотирьох точок інварі-

антно при проектуванні, тобто якщо A, B, C, D і A 0 , B 0 , C 0 , D 0 -

дві четвірки точок на двох пря-

мих та між ними встановлено

проективна відповідність, то-

де справедлива рівність

тарно. Згадаймо, що площа

соту і, з іншого боку, дорівнює

Мал. 75. Інваріантність подвійного від-

носіння при центральному проектуванні

сторін на синус ув'язненого

між ними кута. Тоді отримаємо

площа OCA = 1 2 h · CA = 1 2 OA · OC sin COA,

площа OCB = 1 2 h · CB = 1 2 OB · OC sin COB,

площа ODA = 1 2 h · DA = 1 2 OA · OD sin DOA,

площа ODB = 12 h · DB = 1 2 OB · OD sin DOB.

Таким чином, подвійне відношення точок A, B, C, D залежить тільки від кутів, утворених у точці O відрізками OA, OB, OC, OD. Так як ці кути - одні і ті ж, якими б не були чотири точки A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , в які при проектуванні переходять A, B, C, D, то ясно, що подвійне відношення не змінюється при проектування.

Що подвійне відношення не змінюється при паралельному проектуванні, випливає з елементарних властивостей таких трикутників. Доказ надається читачеві як вправу (рис. 76).

§ 3 Подвійне ставлення 201

До цих пір, говорячи про подвійне відношення чотирьох точок A, B, C, D, розташованих на прямій l, миприпускали, що це ставлення складено з позитивних відрізків. Доцільно видозмінити це визначення в такий спосіб. Приймемо один із двох напрямків прямий l за позитивний і умовимося, що всі відрізки, що відраховуються

у цьому напрямку, будуть

позитивними, а відрізки, відраховані-

вані в протилежному напрямку

ні, - Від'ємними. Тепер визна-

лім подвійне відношення точок A, B, C,

D (взятих у зазначеному порядку) погод-

причому знаки чисел CA, CB, DA, DB

беруться відповідно

вище умовою. Так як

ні напрямку на прямий l, прийнятого за позитивне, змінюються тільки знаки всіх чотирьох відрізків, то значення (ABCD) не залежить від вибо-

ра напряму. Легко зрозуміти, що (ABCD) має негативний або позитивний знак, дивлячись по тому, чи пара точок A, B парою точок C, D або не розділена. Так як властивість «розділятися» інваріантно щодо проектування, то, що розуміється в новому сенсі

(як величина, здатна мати той чи

інший знак) подвійне відношення (ABCD)

також інваріантно. Виберемо началь-

ну точку O на прямій l і порівняємо

кожній точці на прямій l як ко-

ординати x її відстань від O, взята

з належним знаком; тоді, позначаючи

Мал. 77. Знак подвійного відношення-

координати A, B, C, D відповідно

через x 1 x 2 x 3 x 4 отримаємо формулу

Якщо (ABCD) = −1, так що CB CA = − DB DA , то точки C і D ділять відрізок AB внутрішньо і зовні в тому самому відношенні. В цьому

У разі прийнято говорити, що C і D ділять відрізок AB гармонійно, і кожна з точок C і D вважається гармонійно пов'язаною з іншою точкою щодо пари точок A, B. Якщо(ABCD) = 1, то точки C і D (або A та B) збігаються.

ПРОЕКТИВНА ГЕОМЕТРІЯ. АКСІОМАТИКА

Необхідно не випустити з уваги, що при визначенні подвійного відношення (ABCD) істотну роль відіграє порядок, в якому беруться точки A, B, C, D. Наприклад, якщо (ABCD) = l, то подвійне відношення

ня (BACD) дорівнює l , тоді як (DACB) = 1 − l, у чому читач переконає-

ся легко. Чотири точки A, B, C, D можуть бути переставлені між собою 4 · 3 · 2 · 1 = 24 різними способами, і кожній перестановці відповідає деяке значення подвійного відношення. Деяким перестановкам відповідає те числове значення подвійного відношення, що і початковій перестановці A, B, C, D; наприклад, (ABCD) = (BADC). Читачеві надається як вправа довести, що при 24 можливих перестановках чотирьох точок виходить лише шість різних значень подвійного відношення, а саме

Ці шість величин, взагалі кажучи, різні, але за деяких значеннях l можуть і збігатися по дві, наприклад, при значенні l = −1 у разі гармонійного поділу.

Мал. 78. Координатний вираз для подвійного відношення

Ми можемо також визначити подвійні відносини чотирьох компланарних (тобто лежать в одній площині) і конкуренції прямих 1, 2, 3, 4, як подвійне відношення чотирьох точок перетину цих прямих з деякою прямою, що лежить у тій же площині. Положення цієї п'ятої прямої несуттєво внаслідок інваріантності подвійного відношення під час проектування. Еквівалентним цьому визначенню є слі-

(1234) = ± sin(1, sin(2, 3) 3) : sin(1, sin(2, 4) 4) ,

де потрібно взяти знак плюс, якщо пара прямих 1, 2 не поділяється парою 3, 4 і знак мінус, якщо поділяється. (У цій формулі (1, 3), наприклад, позначає кут між прямими 1 та 3.)Нарешті, можна визначити подвійне відношення чотирьох коаксіальних площин (чотирьох площин, що перетинаються однією прямою, або «осі»). Якщо деяка пряма перетинає площини у чотирьох точках, то подвійне відношення цих точок завжди матиме одне й те саме значення, незалежно від

вибору прямої (доказ пропонується як вправа). Таким чином, отримане значення можна назвати подвійним ставленням чотирьох площин, що розглядаються. Інакше, можна назвати подвійним ставленням чотирьох коаксіальних площин подвійне відношення чотирьох прямих, якими вони перетинаються довільною п'ятою площиною (рис. 79).

Мал. 79. Подвійне відношення чотирьох площин

Поняття подвійного відношення чотирьох площин спонукає порушити питання, чи не можна дати визначення проективного перетворення тривимірного простору себе. Визначення за допомогою центральної проекції, мабуть, не узагальнюється безпосередньо від випадку двох вимірів на випадок трьох вимірів. Але можна довести, що кожне безперервне перетворення площини самої на себе, однозначно взаємно переводяще точки в точки і прямі в прямі, є проективне. Ця обставина наводить на думку ввести таке визначення для випадку трьох вимірів: проективним перетворенням простору називається безперервне однозначне взаємно перетворення, що переводить прямі лінії в прямі лінії. Можна показати, такі перетворення залишають значення подвійних відносин незмінними.

Додамо до попереднього ще зауваження. Нехай на прямій дано три різні точки A, B, C з координатами x 1 x 2 x 3 . Потрібно знайти четверту точку D таким чином, щоб задовольнялася рівність (ABCD) = l де l задано. (Приватний випадок, коли l = −1

ПРОЕКТИВНА ГЕОМЕТРІЯ. АКСІОМАТИКА

і завдання полягає у побудові четвертої гармонійної точки, яка буде докладно розглянута в наступному пункті.) Взагалі кажучи, завдання має одне і тільки одне рішення; дійсно, якщо x - координата шуканої точки D, то рівняння

має одно рішення. Вважаючи x 1 , x 2 і x 3 заданими та вважаючи заради

стислості x 3 − x 1 = k, ми надамо рішенню вигляд x 3 − x 2

x = kx 2 − l x 1 . k − l

Наприклад, якщо точки A, B, C знаходяться на рівних відстанях друг

від друга і мають відповідно координати x 1 = 0, x 2 = d, x 3 = 2d, то тоді k = 2 2 d d − − d 0 = 2 і x = 2 2 − d l .

Мал. 80. Проективна відповідність між точками двох прямих

Якщо пряма l спроектована з двох різних центрів O 0 і O 00 на дві різні прямі l 0 і l 00 то отримується відповідність P ←→ P 0 між точками прямих l і l 0 і відповідність P ←→ P 00 між точками прямих l і l 00 . Цим встановлюється відповідність P 0 ←→ P 00 між точками прямих l 0 і l 00 і до того ж таке, що кожні чотири точки A 0 , B 0 , C 0 , D 0 на l 0 мають те ж подвійне відношення, що і відповідні точки A00, B00, C00, D00 на l00. Будь-яка взаємно однозначна відповідність між точками двох прямих, що має цю властивість, називається

проективним відповідністю, незалежно від цього, яким способом це відповідність встановлено.

Вправи. 1) Доведіть, що якщо дано дві прямі разом із проективною відповідністю, встановленою між ними, то можна піддати одну з прямих такому паралельному перенесенню, що задана відповідність буде отримуватися за допомогою простої проекції. (Вказівка: поєднайте пару взаємно відповідних точок на даних прямих.)

2) Користуючись попереднім результатом, покажіть, що якщо між точками двох прямих l і l 0 встановлено відповідність за допомогою кінцевого числа послідовних проектувань на різні проміжні прямі при довільних центрах проекцій, то той же результат може бути отриманий лише через два проектування.

Мал. 81. Повний чотиристоронник

2. Застосування до повного чотиристоронника. Як цікаве застосування інваріантності подвійного відношення ми доведемо одну просту, але важливу теорему проективної геометрії. Йдеться про повного чотиристоронника — фігуру, утворену довільними чотирма прямими, з яких жодні три не є конкурентними, і шістьма точками їхнього перетину. На рис. 81 названі чотири прямі сутність AE, BE, BI, AF . Прямі AB, EG та IF є діагоналями чотиристоронника. Розглянемо одну з діагоналей, наприклад AB, та відзначимо на ній точки C та D, де вона перетинається з двома іншими діагоналями. Тоді теорема стверджує існування рівності (ABCD) = -1; словами це виражається так: точки перетину однієї діагоналі з двома іншими ділять відрізок між вершинами чотиристоронника гармонійно. Для доказу достатньо про-