Поєднаний апріорний розподіл
Споріднений апріорний розподіл(англ. conjugate prior) іпов'язане сімейство розподілів— одні з основних понять у байєсівській статистиці.
Розглянемо задачу про знаходження розподілу параметра θ (що розглядається як випадкова величина) за наявним спостереженням x . За теоремою Байєса, апостеріорний розподіл обчислюється з апріорного розподілу із щільністю ймовірності p ( θ ) та функції правдоподібності p ( x θ ) за формулою:
p ( θ x ) = p ( x θ ) p ( θ ) ∫ range θ p ( x θ ) p ( θ ) d θ . >\;\theta >p(x\theta )\,p(\theta )\,d\theta >>.>
Якщо апостеріорний розподіл p ( θ x ) належить тому ж сімейству імовірнісних розподілів, що й апріорний розподіл p ( θ ) (тобто має той самий вигляд, але з іншими параметрами), то це сімейство розподілів називаєтьсяпов'язанимсімейства функцій правдоподібності p(xθ). При цьому розподіл p(θ) називаєтьсяпов'язаним апріорним розподіломдо сімейства функцій правдоподібності p(xθ).
Знання сполучених сімейств розподілів істотно спрощує обчислення апостеріорних ймовірностей у байесівській статистиці, оскільки дозволяє замінити обчислення громіздких інтегралів у формулі Байєса простими маніпуляціями алгебри над параметрами розподілів.
Зміст
Якщо взяти вибірку зnзначень цієї випадкової величини, і серед них виявитьсяsуспіхів таfневдач, то апостеріорний розподіл параметраqбуде одно:
Цей апостеріорний розподіл також виявляється розподіленим за законом бета-розподілу, але з трохи іншими параметрами, ніж у апріорного розподілу.
У таблицях нижче показано, яким чином змінюються параметриапостеріорного розподілу після вибірки зnнезалежних, однаково-розподілених спостережень x 1 , x 2 , … , x n ,x_,\ldots ,x_> . Другий стовпець - параметр функції правдоподібності, щодо якого будується сімейство сполучених розподілів.