Поняття адаптивної моделі
Адаптивні методи можуть застосовуватися для прогнозування показників фондового ринку, грошових потоків, змін щоденних залишків на складах, інструментальних комор, магазинах. За допомогою цих методів вдається описати еволюцію зміни техніко-економічних характеристик виробів і змінних параметрів хімічних процесів, вивчити поведінку показника частоти відмов обладнання залежно від його віку. Зрештою, названі методи корисні при аналізі сезонних явищ. У ряді випадків ці методи можуть успішно застосовуватися для прогнозування макропоказників. Методи адаптивного прогнозування застосовуються там, де основною інформацією прогнозу є тимчасові ряди.
Інструментом прогнозу при адаптивному методі є модель. Початкова оцінка параметрів цієї моделі ґрунтується на даних базового (початкового) часового ряду. На основі нових даних, одержуваних на кожному наступному кроці, відбувається коригування параметрів моделі в часі, їх адаптація до нових умов, що безперервно змінюються, розвитку явища. Таким чином, модель постійно «вбирає» нову інформацію та пристосовується до неї.
Розглянуті методи мають такі властивості:
• вони застосовні для кола завдань;
• адаптивне прогнозування не потребує великого обсягу інформації, воно базується на інтенсивному аналізі інформації, що міститься в окремих часових рядах;
• модель, що описує структуру показника та його динаміку, як правило, відрізняється ясністю та простотою математичного формулювання;
• неоднорідність часових рядів та його зв'язків знаходить свій відбиток у адаптивної еволюції параметрів і навіть структури моделей.
Адаптивні методи придатні лише для обробки рядів з помірними змінамичасу. Вони виявляються дуже грубими під час прогнозування на велику кількість кроків уперед.
Відмінність адаптивних моделей від інших прогностичних моделей полягає в тому, що вони відображають поточні властивості ряду і здатні безперервно враховувати еволюцію динамічних характеристик процесів, що вивчаються.
Мета адаптивних методів полягає в побудові самокоректуючих (самоналаштовуються) економіко-математичних моделей, які здатні відображати умови, що змінюються в часі, враховувати інформаційну цінність різних членів тимчасової послідовності і давати досить точні оцінки майбутніх членів даного ряду. Саме тому такі моделі призначаються насамперед для короткострокового прогнозування.
Основним засобом аналізу та прогнозу часового ряду буде модель. Поняття модель використовується у двох значеннях: як модель тимчасового ряду, що виражає закон генерування членів ряду, та як прогнозна модель, або предиктор. Головна відмінність цих двох типів моделей у цьому, що у виході моделі тимчасового ряду фактичні члени ряду, але в виході прогнозної моделі — оцінки майбутніх членів ряду. Теоретично властивості предиктора досліджуються в припущенні, що він застосований для отримання прогнозів процесу, що генерується моделлю, заданої аналітично.
На тимчасовий ряд впливають у різні часи різні чинники. Деякі з тих чи інших причин послаблюють свій вплив, інші впливають активніше. Таким чином, реальний процес протікає в умовах, що змінюються, що становлять його зовнішнє середовище, до якого він пристосовується, адаптується. А модель, у свою чергу, адаптується до ряду, який представляє цей процес.
Тимчасовий ряд - це безліч спостережень, які отримують послідовно в часі. Якщо час змінюєтьсядискретно, часовий ряд називається дискретним.
Ми розглядатимемо лише дискретні часові ряди, у яких спостереження робляться через фіксований інтервал часу, який приймається за одиницю рахунку. Перехід від моменту одного спостереження на момент наступного спостереження називатимемо кроком.
Якщо значення членів тимчасового ряду точно визначено будь-якою математичною функцією, то тимчасовий ряд називається детермінованим. Якщо ці значення можуть бути описані лише за допомогою розподілу ймовірностей, тимчасовий ряд називається випадковим.
Явище, що розвивається у часі згідно із законами теорії ймовірностей, називається стохастичним процесом. Надалі називатимемо його просто процесом.
Аналізований відрізок часового ряду може розглядатися як одна приватна реалізація (вибірка) стохастичного процесу, що вивчається, генерованого прихованим імовірнісним механізмом.
Серед стохастичних процесів виділяють клас процесів, які називають стаціонарними. Позначимо член тимчасового ряду, що спостерігається в моментt,черезxt.Стохастичний процес називається стаціонарним, якщо його властивості не змінюються в часі. Зокрема, він має постійне математичне очікування(тобто середнє значення, щодо якого він варіює), постійну дисперсіювизначає розмах його коливань щодо середнього значення, а також постійну автоковаріацію та коефіцієнти автокореляції. Коваріація між значеннямиxtіxt+kвідокремленими інтерваломkодиниць часу, називається автоковаріацією з лагом (затримкою)kі визначається як
Для стаціонарних процесів автоковаріація залежить тільки від лагаkі.Автокореляція з лагомkє лишенормованою автоковаріацією і дорівнює:
тому що для стаціонарного процесу. Таким чином, k-й коефіцієнт автокореляції
Він має тим властивістю, що .
Для опису часових рядів використовуються математичні моделі. Уявимо, що тимчасовий рядxt,, що генерується деякою моделлю, можна представити у вигляді двох компонентів
де величина εtгенерується випадковим неавтокорельованим процесом з нульовим математичним очікуванням і кінцевою (не обов'язково постійною) дисперсією, а величинаξtможе бути генерована або детермінованою функцією, або випадковим процесом, або який- або їх комбінацією. Величини εtіξtвідрізняються характером на значення наступних членів низки. Змінна εtвпливає лише значення синхронного їй члена ряду, тоді як величинаξtпевною мірою визначає значення кількох чи всіх наступних членів ряду. Через величинуξtздійснюється взаємодія членів низки. Таким чином, вона містить інформацію, необхідну для отримання прогнозів.
Назвемо величинуξtрівнем ряду на момент t, а закон еволюції рівня часу - трендом. Таким чином, тренд може бути виражений як детермінованою, так і випадковою функціями або їх комбінацією. Стохастичні тренди мають, наприклад, ряди з випадковим рівнем або випадковим стрибкоподібним характером зростання.
Наведемо приклад детермінованого тренду:
Приклад випадкового тренду:
деξ-деяке початкове значення;
ut -випадкова змінна.
Приклад тренду змішаного типу:
ut- випадкова змінна.
Компоненти часового рядуξtі εtне спостерігаються. Вони єтеоретичними величинами. Їх виділення і становить предмет аналізу часового ряду завдання прогнозування. Оцінку майбутніх членів ряду зазвичай роблять за прогнозною моделлю. Прогнозна модель - це модель, що апроксимує тренд. Прогнози — це оцінки майбутніх рівнів низки, а послідовність прогнозів щодо різних періодів попередження τ = 1, 2, .kстановить оцінку тренду.
При побудові прогнозної моделі висувається гіпотеза динаміку величиниξt ,т. е. про характер тренду.
Однак у зв'язку з тим, що впевненість у гіпотезі завжди відносна, моделі, що розглядаються, наділяються адаптивними властивостями, здатністю до коригування вихідної гіпотези або навіть до заміни її іншою, більш адекватною (з точки зору точності прогнозів), що відображає поведінку реального ряду.
Найпростіша адаптивна модель ґрунтується на обчисленні так званої експоненційної середньої.