Поняття множини, підмножини, порожньої множини
Елементи теорії множин.
"Підмножиноюми розуміємо об'єднання в одне ціле певних, цілком помітних об'єктів нашої інтуїції або нашої думки" - так описав поняття "множина" Георг Кантор, засновник теорії множин.
Основні передумови канторівської теорії множин зводяться до наступного:
1°Безліч може складатися з будь-яких помітних об'єктів.
2°Безліч однозначно визначається набором складових його об'єктів.
3°Будь-яка властивість визначає безліч об'єктів, які цією властивістю мають.
Якщо х - об'єкт, Р - властивість, Р(х) - позначення того, що х має властивість Р, то через позначають весь клас об'єктів, що володіють властивістю Р. Об'єкти, що становлять клас або безліч, називаютьелементамикласу або множини.
Термін "множина" вживається як синонім понять сукупність, збори, колекція деяких елементів. Так, можна говорити про:
а) безліч бджіл у вулику,
б) безлічі точок відрізка,
в) безлічі вершин квадрата або про множини його сторін і діагоналей,
г) безлічі студентів в аудиторії і т.д.
У наведених прикладах у випадках а), в)-г) відповідні множини складаються з певного кінцевого числа предметів, такі множини називаютьсякінцевими. Безліч точок відрізка (приклад б)) перерахувати неможливо, тому такі множини називаються нескінченними. Безліч, що не містить жодного елемента, називається пустим безліччю.
Найбільш проста форма завдання множини - перерахування його елементів, наприклад А = (множина А складається з трьох елементів - цілих чисел 4, 7, 13). Інша частозастосовувана форма завдання - вказівка властивостей елементів множини, наприклад, A = - безліч чисел х, що задовольняють зазначеній умові.
Множини зазвичай позначаються великими буквами А, В, С,…., які елементи - малими: а, в, с,… Запис а ∈ А (читається: а належить А) чи A ∋ a (читається: А містить а) означає а є елемент множини А. Порожня множина позначається значком Ø.
Якщо кожен елемент множини є також елементом множини А, множина В називаєтьсяпідмножиноюмножини А (позначення - B ⊆ A або A ⊇ B).
Кожна множина є своїм підмножиною (це "найширше" підмножина множини). Порожня множина є підмножиною будь-якої множини (це саме "вузьке" підмножина). Будь-яке інше підмножина множини містить хоча б один елемент множини А, але не всі його елементи. Такі підмножини називаються істинними, чи власними підмножинами. Для істинних підмножин множини А застосовується позначення B ⊂ A або A ⊃ B. Якщо одночасно B ⊆ A і A ⊆ B, тобто кожен елемент множини належить А, і в той же час кожен елемент А належить В, то А і В , очевидно, складаються з тих самих елементів і, отже, збігаються. У цьому випадку застосовується знак рівності множин: A = B. (Символи ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ називаються символами включення).
Геометрично множини зазвичай зображуються як деякі множини точок площини. Самі картинки називаютьсядіаграмами Ейлера-Венна (колами Ейлера). Тобто діаграми Ейлера-Венна - геометричні уявлення множин або геометричні зображення відносин між обсягами понять за допомогою перетинаються контурів (кіл або еліпсів), запропонована англійським логіком Джоном Венном (1834 - 1923) в кінці позаминулого століття. В своїхроботах з наочному графічному зображенню логічних постатей він спирався на ряд графічних систем, запропонованих Ейлером (1707 - 1783), І. Ламбертом (1728 - 1777), Жергонном (1771 -1859), Б. Больцано (1781 -18)
Наведемо деякі з діаграм. Побудова діаграми полягає у зображенні великого прямокутника, що представляє універсальне безліч U , а всередині його – кіл (або яких-небудь інших замкнутих фігур), що представляють безлічі. Фігури повинні перетинатися в найбільш загальному випадку, необхідному в завданні, і повинні бути позначені відповідним чином. Крапки, що лежать усередині різних областей діаграми, можуть розглядатися як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення новостворених множин.
Операції над множинами розглядаються для отримання нових множин з існуючих.
Визначення.Об'єднанняммножин А і В називається безліч, що складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одному з множин А, В (рис. 1):
Визначення.Перетиноммножин А і В називається безліч, що складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать одночасно як множині А, так і множині В (рис. 2):
Визначення.Різністюмножин А і В називається безліч всіх тих і тільки тих елементів А, які не містяться в В (рис. 3):
Визначення.Симетричною різницеюмножин А і В називається безліч елементів цих множин, які належать або тільки множині А, або тільки множині В (рис. 4):
Поширено та інше позначення симетричної різниці:А ∆ В,замістьА + В.
