ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ І ЇЇ ВИМІР, Історія розвитку поняття площі та її вимірювання - Особливості
Історія розвитку поняття площі та її виміру
Зародження геометричних знань, пов'язаних із виміром площ, втрачається в глибині тисячоліть.
Ще 4 - 5 тис. років тому вавилоняни обчислювали площі земельних ділянок, що мають форму прямокутника та трапеції, у квадратних одиницях. Одиницею вимірювання площі з давніх-давен використовували квадрат, так як саме квадрат має чудові властивості: рівні сторони, рівні і прямі кути; квадрат має вісь та центр симетрії та досконалість форми. Квадрати легко будувати і ними можна покрити без просвітів фігури будь-якої форми.
Близько 4 000 років тому єгиптяни визначали площу прямокутника, паралелограма, трикутника та трапеції тими самими прийомами, як і ми. Тобто, щоб визначити площу прямокутника, множили довжину на ширину; щоб знайти площу трикутника, основу трикутника ділили навпіл і множили на висоту. А для знаходження площі трапеції суму паралельних сторін ділили навпіл і множили на висоту. Площа багатокутника знаходили розбиттям його на прямокутники, трикутники та трапеції.
Єгиптяни використовували й інші, які дозволяли швидше вимірювати площу земельної ділянки шляхом лише обходу її за межами, але результат виміру виходив із певною похибкою. Так, площу рівнобедреного трикутника обчислювали за формулою
де а – бічна сторона, b – основа трикутника. Здійснювана при цьому помилка тим менше, чим ближче до 90 про кут між сторонами а і b.
Так як із сучасної формули
нам відомо, що при б=90 про sin 90 =1, S=. Єгиптяни також користувалися для обчислення площі чотирикутника ABCD формулою
При обчисленні площі чотирикутників за цією формулою допускаласяпомилка. Вона мінімальна, коли кути чотирикутника близькі до прямих. А у разі прямокутника результат виходить точний, тому що з формули
SABCD = AB + CD. AD+BC при AB=CD та AD=BC
SABCD = 2AB. 2AD = AВ АD.
А у випадку паралелограма ця формула дає відчутну похибку.
Згідно з єгипетською формулою площі паралелограмів, вказаних на рис. 3 та 4, приймемо рівними площами прямокутників, побудованих на сторонах АD. Заштриховані площі показують величину допущеної помилки у визначенні площі паралелограма у двох різних випадках. Якщо кут СВА паралелограма за величиною далекий від прямого, то помилка може бути незначною.
У математичних працях Евкліда, Герона, Брахмагупти та інших відомо, що з питань вимірювання площ греки та індуси пішли далеко вперед у порівнянні з єгиптянами та вавилонянами. У своїх «Початках» Евклід не застосовував слово «площа», оскільки він під словом «фігура» розуміє частину площини, обмежену тією чи іншою замкненою лінією, і під поняттям постаті мав на увазі її площу. Евклід результат виміру площі не виражає числом, порівнює площі різних фігур між собою. Евклід також займається питаннями перетворення одних постатей на рівновеликі їм постаті, оперуючи у своїй не числами, а самими площами.
З формулою Герона
S = р(р-а)(р-b)(р-с), де р=а+b+с
учні знайомі. А індійський математик Брахмагупта (598 – 660) хотів вивести подібну формулу для обчислення площі чотирикутника. Якщо позначимо площу чотирикутника через S, його напівпериметр через р, а сторони через а, b, с і d, то Брахмагупта приймав S = р(р-а)(р-b)(р-с)(р-d) але не довів.
Формула Брахмагупта правильна для прямокутника, тому що тільки в прямокутниках р-а=b та р-b=а.Тому
оскільки а=с, b=d. Оскільки р-а=b, р-b=а, отримаємо S=аb.
Формула Брахмагупта вірна задля будь-якого чотирикутника. Вона застосовна для рівнобедреної трапеції та для вписаних у коло чотирикутників, діагоналі яких взаємно перпендикулярні. Сам Брахмагупта був обережний у застосуванні своєї формули і користувався нею лише визначення площ вище зазначених фігур. Його формула, хоч і давала лише наближене значення істинного розміру площі будь-якого чотирикутника, полегшувала вимір площ земельних ділянок, оскільки обхід ділянки по периметру та її вимір – завдання нескладне.
Завдання поділу площ фігур за допомогою прямих, що їх перетинають, і перетворення однієї фігури в іншу шляхом розрізання і перескладання нових фігур з отриманих частин зацікавили грецьких математиків, оскільки землемір і архітектурні роботи висували завдання такого змісту. На малюнку видно поділ навпіл площі трикутника прямий, що проходить через одну з його вершин. Площа трикутника розділяється медіаною на рівні частини, оскільки 1+2=1Ч+2Ч.
Однією з найпростіших і найзручніших фігур для вимірювання площ є квадрат.
Тому математики здавна прагнули перетворювати будь-яку фігуру на рівновеликий їй квадрат. Наприклад, вирішували завдання про побудову трикутника, рівновеликого даному багатокутнику, і квадрата, рівновеликого отриманого трикутника і т.д. Для вирішення аналогічних завдань даний багатокутник розбивали на трикутники, оскільки кожен трикутник можна перетворити на паралелограм. При цьому основа паралелограма повинна дорівнювати основу трикутника, а висота паралелограма – половині висоти трикутника (рис. 6). Для цього достатньо провести середню лінію трикутника.
Паралелограм перетворювали нарівновеликий йому прямокутник, а прямокутник - рівновеликий йому квадрат.
Перші відомості про вимір площ та відстаней на Русі відносяться до XI століття. У Державному Ермітажі зберігається камінь із написом: «У літо 6576 р. Гліб князь міряв морем по льоду від Тмутороканя до Корчева 14 тисяч сажнів». У цьому записі йдеться про вимір у 1068 році відстані між містами Тамань та Керч через Керченську протоку по льоду.
Стародавні математики Єгипту та Індії необґрунтовано переносили на загальний випадок правила обчислення площ, вірні у деяких окремих випадках. На Русі XI – XVI століттях теж пішли шляхом узагальнення правил. У другій половині XVI ст. Зростання потреб у вимірі землі, розвиток артилерійської справи та будівництво міст призвели до необхідності створення рукописів геометричного змісту. У 1551 р. цар Іван IV послав людей «описати та зміряти державу». На жаль, рукописи Стародавньої Русі до нас не дійшли. Автор «Історії української з найдавніших часів» В.М. Татищев (1686 - 1750) писав: «Я читав наказ, даний у 1556 р. переписувачам у тому, як слід вимірювати землю». До наказу додавались «землемірні риси», тобто креслення. Наказ безвісти зник. Зникли також "Математичні рукописи XVII століття", що зберігалися в сім'ї письменника та історика Н.М. Карамзіна (1766 – 1826).
Першим із збережених рукописів, у яких викладаються правила виміру площ, була «Книга сошного листа», найдавніший екземпляр, який належить до 1629 року, хоча є вказівки, що оригінал було складено за Івана Грозного в 1556 року. У книзі є глава «Про земному верстанні, як земля верстати». У ній, на жаль, міститься багато помилкового матеріалу у способах вимірювання площ. Можливо, вони з'явилися внаслідок спотворень під час листуваннявід руки. Доводиться визнати, що рівень знань був невисоким, хоча не хочеться вважати українців шістнадцятого та сімнадцятого століть менш грамотними, ніж давні єгиптяни. Тим більше яскравим підтвердженням цього є виняткові за красою архітектурні пам'ятки того часу, такі, як собор Василя Блаженного, побудований в 1553-1560 р.р. за Івана Грозного українськими «майстрами кам'яних справ Постником, Яковлєвим та Бармою.
Були й вагомі причини, які затримали поширення математичних знань на Русі. У ХV ст. були царські оголошення «Про заборону книг, вивезених із Заходу», в одному з яких навіть говорилося, що «богомерзостій перед богом всякий, хто любить геометрію».
Лише за Петра I в 1701 році відкрили в Москві «Математичні та навігатські, тобто Морехідно-хитрих наук школу». До програми навчання включили викладання арифметики, алгебри, геометрії та тригонометрії. Ці науки викладав виписаний з-за кордону професор-математик Форварсон та математик-самоук Леонтій Магницький. З того часу основи геометрії як науки проникли до нас до України. Саме на початку ХVIII століття за редакцією Форварсона було перекладено українською мовою та видано «Початки» Евкліда.
Тож які саме помилки припускалися у вимірі площ на Русі?
У вищезгаданій книзі «Про земне верстання, як земля верстати» зібрано правила вимірювання площ різних фігур і наведено приклади, як ними користуватися. Але висновків та доказів цих правил немає. Площа прямокутника обчислювали шляхом виділення з нього найбільшого квадрата, а площу прямокутника, що залишилася, обчислювали визначенням, яку частку найбільшого квадрата вона становить (рис. 9).
Як примітивний цей спосіб порівняно з обчисленням площі прямокутника множеннямдовжини його завширшки!
А щоб знайти площу трапеції, напівсуму підстав множили на більшу основу.
Наприклад, площа трапеції ABCD при AB=CD за цим правилом дорівнює S=AB+CD. AD (рис. 10).
Очевидно, тут припущено помилку під час переписування рукопису. У пізніших рукописах площа трапеції виражається твором напівсуми підстав на «хобот», а «хоботом» називали бічний бік трапеції. Цей спосіб теж невірний, проте ближчий до справжньої величини.
При обчисленні площі трикутника за правилом, зазначеним у книзі «Про земному верстані, як земля верстати», твір більшої та меншої сторін трикутника ділили на два, що, природно, дає лише наближене значення справжньої площі.
У Стародавній Русі при обчисленні площ припускалися ще одну грубу помилку, вважаючи, що «фігури з рівними периметрами мають рівні площі». Це припущення невірно для жодної фігури, навіть якщо вони мають рівні сторони. Наприклад, при рівності сторін квадрата сторонам ромба площа квадрата більша за площу ромба, тому що висота ромба коротша за його сторону. Доведемо це.
Нехай сторона квадрата та сторона ромба дорівнюють а.
а площа ромба
З прямокутного трикутника
Отже, правила, правильні для конкретних постатей, непридатні у загальних випадках.
3 см 3 см 21см
Візьмемо квадрат та рівносторонній трикутник з рівними периметрами (рис. 12). Для порівняння обчислимо площу рівностороннього трикутника з периметром 9 см за формулою
S= а 2 sin б отримаємо
S = . 3 2. sin60 про = . ?9. 1,7? 3,8 = 4 (см 2).
Сторона квадрата з периметром теж 9 см дорівнює 2см, а площа
Як бачите, площі не рівні. Отже, не можна робити висновок про рівність площфігур із рівними периметрами.
На помилках навчаються – говорить народна мудрість. Багаторазово помиляючись і виправляючи власні помилки, людина досягла сучасної високої культури обчислень.