Поверхні 2 порядку

Поверхні 2 порядку у просторі

Поняття поверхні 2 порядку як геометричного місця точок.До невироджених поверхонь другого порядку відносяться еліпсоїд, еліптичний параболоїд, гіперболічний параболоїд, однопорожнинний гіперболоїд і двопорожнинний гіперболоїд.

Загальне рівняння поверхні другого порядку

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Fyz + 2Gzx + 2Hxy + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,

де x, y, z – координати точок поверхні, A, B, C, . − дійсні числа.

Класифікація поверхонь 2 порядку.Як інваріанти використовуються ранги матриць e і E, визначник матриці E і знаки коренів характеристичного рівняння для матриці e

# Ранг (e) Ранг (E) Δ Знаки k Вид поверхні

1 3 4 0 Одинакові Уявний еліпсоїд

3 3 4 > 0 Різні Однопорожнинний гіперболоїд

4 3 4 0 Різні Гіперболічний параболоїд

9 2 3 Одинакові Еліптичний циліндр

10 2 3 Одинакові Уявний еліптичний циліндр

11 2 3 Різні Гіперболічний циліндр

12 2 2 Різні площини, Що Перетинаються

13 2 2 Одинакові Уявні площини, що перетинаються

14 1 3 Параболічний циліндр

15 1 2 Паралельні площини

16 1 2 Уявні паралельні площини

17 1 1 Збігаючі площини

Конічна поверхня.

Уявна конічна поверхня

Конус дійсний і уявний.Конусом другого порядку називається поверхня, рівняння якої в деякій декартовій системі координат має вигляд

Точка перетину конуса з площиною називається вершиною конуса.

Уявний_

Еліпсоід речовий і уявний.Поверхня, що задається в деякій прямокутній декартовій системі координат рівнянням a > 0, b > 0, c> 0, називається еліпсоїдом Еліпсоід – обмежена поверхня, оскільки з його рівняння випливає, що

Еліпсоїд володіє

центральною симетрією щодо початку координат,

осьовий симетрією щодо координатних осей,

площинною симетрією щодо початку координат.

У перерізі еліпсоїда площиною, перпендикулярною до будь-якої з координатних осей, виходить еліпс.

Уявний еліпсоїд:

Гіперболоїди: однопорожнинний та двопорожнинний.

Однопорожнинний гіперболоїд

Двопорожнинний_

Циліндри:Циліндричною поверхнею називається геометричне місце паралельних прямих, що перетинають цю лінію. Ця лінія називається напрямною, а паралельні прямі – утворюючими

речовий уявний не нащула

Гіперболічний

Еліптичний

Параболічний

Параболоїди: еліптичний

і гіперболічний.

Метод перерізів дослідження поверхонь другого порядку.

досліджуються перерізи поверхонь площинами, паралельними координатними або самими координатними площинами і за видом перерізу робиться висновок про форму поверхні

---