Позначення відносин між геометричними образами

Позначення теоретико-множинні

Сутність методу проеціювання полягає в тому, що проекція А деякого геометричного образу А виходить в результаті перетину проецірующей лінії n, що проходить через точку А з площиною проекцій  (рис.1.1):

А – геометричний образ простору;

n- проєцірующая лінія;

А =n  А – проекція геометричного образу простору на площину проекцій.

Для отримання проекції лінії проектують ряд її точок з наступним з'єднанням одержаних проекцій точок (рис. 1.2).

Знання побудови проекцій точок та ліній дозволяє перейти до проектування поверхні тіла.

§ 2. Спосіб проектування

У накреслювальній геометрії розглядаються два основні способи проектування: центральне та паралельне.

1. Проеціювання центральне

Центральним називається проектування, при якому всі проекції промені виходять з однієї точки S, званої центром проектування. На рис. 1.3 дано приклад центрального проектування, де  – площина проекцій; S – центр проектування (точка, що не лежить у площині ); А, У, З – точки простору; А , В , С – центральні проекції точок А, В, С, на площину  : вони виходять у перетині проектуючих променів SA, SB, SC з площиною проекцій.

Якщо деякої точки D проецирующий промінь виявиться паралельним площині проекцій, прийнято вважати, що вони перетинаються, але у нескінченно віддаленій точці. Проекцією точки D буде нескінченно віддалена точка D.

Проекції точок (А і В), що лежать на одному проекційному промені, збігаються (А В ) (рис. 1.4).

Побудова центральних проекцій прямої лінії АВ та кривої MNпоказано на (рис. 1.5 та 1.6).

2. Проеціювання паралельне

Паралельним називається проектування, при якому всі проецірующие промені між собою паралельні.

Паралельні проекції можуть бути косокутними (рис.1.7) та прямокутними (рис. 1.8).

S – напрямок проектування.

При косокутному проектуванні проецірующие промені становлять з площиною проекцій кут, не рівний 90 °.

При прямокутному проектуванні проекції промені перпендикулярні площині проекцій (прямокутне проектування найчастіше називають ортогональним проектуванням).

Кожен із розглянутих способів має свої переваги та недоліки. Залежно від цього, на яку мету виконується креслення, використовується той чи інший спосіб.

Для виконання креслення, яким виготовляється зображуваний предмет, використовується ортогональне проектування.

Косокутне, паралельне проектування використовується в основному для отримання аксонометричних зображень, центральне – для побудови перспективних зображень.

У курсі, що вивчається, основну увагу буде приділено ортогональному проектуванню.

§ 3. Властивості ортогональних проекцій

1. Проекція точки є крапкою (рис. 1.9).

2. Проекція прямої у випадку є пряма (рис. 1.10).

Якщо пряма розташовується перпендикулярно до будь-якої площини проекцій (така пряма називається проецирующей), то на цю площину вона проектується у вигляді точки (рис. 1.10).

3. Якщо точка лежить на прямій, то її проекція розташовується на відповідній проекції цієї прямої А m А m (рис. 1.11).

Примітка. Перші 3 властивості проекцій є спільними для центрального та паралельногопроектування.

4. Якщо точка ділить відрізок прямий у будь-якому відношенні, то її проекція ділить проекцію відрізка у тому самому відношенні (рис. 1.12).

5. Якщо пряма паралельна площині проекцій, то цю площина ця пряма проектується без спотворень (рис.1.13).

mII m =m,mII  [ А В ] = [ AB ].

Якщо плоска фігура паралельна до площини проекцій, то на цю площину вона проектується без спотворення.

6. Якщо прямі у просторі перетинаються, їх проекції також перетинаються (рис. 1.14).

mn= C m п с

7. Якщо прямі у просторі паралельні, їх проекції також паралельні (рис. 1.15).

aIIbа II b

Примітка. Загальними для косокутного та прямокутного проектування є властивості 4, 5, 6.

8. Якщо одна сторона прямого кута паралельна до площини проекцій, то на цю площину прямий кут проектується без спотворень (рис. 1.16).

ABC = 90 °; AB  ; BC  ; А В С = 90°;

ABD = 90 °; AB  ; BD  ; А В D = 90°.

Примітка. Властивість 8 тільки для ортогонального проектування.

9. Паралельне перенесення фігури у просторі або площині проекцій не змінює вигляду та розмірів проекції фігури.

---