Практичне заняття №8

Рішення звичайних диференціальних рівнянь.Завдання Коші.

2.Рішення задачі Коші засобами Mathcad

3.Символьне вирішення лінійних диференціальних рівнянь

4.Порядок виконання роботи

6.Завдання для самостійної роботи

Завдання Коші можна сформулювати так:

та початкова умова

. (1.1)

Потрібно знайти функцію , яка задовольняє як зазначеному рівнянню, і початковому умові.

Чисельне рішення задачі Коші полягає у побудові таблиці наближених значеньy0,y1, y2, . ynрішення рівняння в точках

деh- крок збільшення змінноїx,

n- кількість інтервалів рішення з крокомh.

Розглянемо тут дві групи чисельних методів розв'язання задачі Коші:однокроковіібагатокрокові.

1.1.Однокрокові методи

Однокрокові методи- це методи, в яких для знаходження наступної точки на кривійy = f(x) потрібна інформація лише про одне попереднє кроку.

Метод Ейлера- найпростіший однокроковий метод. Його можна виводити з різних міркувань.

Наприклад, нехай - скалярна безперервно функція, що диференціюється, тобто. у кожній точці існує похідна

.

Тоді при малих

,

і вираз може використовуватися як різницеву апроксимацію для першої похідної.

Розглянемо завдання Коші для одного скалярного рівняння (1), (1.1) на відрізку та у вузлах сітки замінимо похідну її різницевою апроксимацією.

В результаті отримаємо систему рівнянь для знаходження сіткової функції:

,

,

Ця система рівнянь називається різницею схемою Ейлера.

Для знаходження маємо явну формулу

(2)

Аналогічно можна отримати неявну схему Ейлера

, (2.1)

якщо з самого початку використовувати як різницеву апроксимацію для похідної вираз .

Локальною похибкоюметоданазивається величина

Знайдемо величину локальної похибки методу Ейлера:

Тобто похибка, яку допускає за один крок спосіб, що стартує з точного рішення.

Глобальною похибкою(або просто похибкою) чисельного методу називають сіточну функцію зі значеннямиεi=u(xi)-yi

Як міра абсолютної похибки методу приймемо величину

Можна показати - для явних однокрокових методів речей, що локальна похибка має вигляд

,

,

де і M – деякі константи.

Таким чином, метод Ейлера є методом першого порядку точності (р=1відносноh).

Для знаходження рішення задачі Коші із заданою точністю потрібно знайти таке наближене рішення, для якого є величина глобальної похибки.

Так як точне розв'язання задачі невідоме, похибку оцінюють за допомогою правила Рунге.

Правило Рунге оцінки похибок.

Для практичної оцінки похибки проводять обчислення з крокамиhтаh/2.

За оцінку похибки рішення, отриманого з крокомh/2, приймають величину, що дорівнює

,

деp– порядок методу.

Метод Рунге-Куттичетвертого порядку .

Для досягнення вищої точності (порядкуh4)використовуютьметод Рунге-Куттичетвертого порядку:

(3)

---