Правила запису наближених чисел - Інформатика, програмування
3. Правила запису наближених чисел
Для вирішення інженерних завдань часто доводиться визначати різні числа, як точні, і наближені. При цьому потрібно, щоб похибка, що виникає при округленні, була б мінімальною.
Нехай деяке десяткове число представлене його розкладанням
,
де 10 S – одиниця розряду S, aS – цифра розряду, S – номер розряду.
Усі цифри числа від першої зліва, нерівної нулю, до останньої цифри праворуч, називаються значущими цифрами.
Наприклад, нехай задані такі числа:
Тоді для a1, a2, a3 маємо 3 значущі цифри та для a4 - 5 значущих цифр.
Якщо крайні справа нулі не вважають значущими, число записують в експоненційній формі:
,
де m – експонента, p – порядок числа.
Значна цифра числа aS називається правильною, якщо абсолютна похибка цього числа вбирається у половини одиниці розряду S, тобто.
.
Якщо абсолютна похибка числа не зазначена, всі його значні цифри вважають правильними.
Під округленням числа а розумітимемо його заміну числом а', яке має меншу кількість значущих цифр, ніж вихідне число а. Округлення повинно проводитися таким чином, щоб помилка, що виникає, була мінімальною.
Для оцінки величини помилки вводять такі характеристики:
- Абсолютна похибка округлення;
- Відносна похибка округлення.
При необхідності можуть використовуватися їх граничні значення:
; .
Якщо округляється наближене число, похибка отриманого числа включає дві складові:
- Похибка вихідного числа.
Округлення чисел провадиться за такими правилами.
1. Якщо перша зцифр, що відкидаються менше 5, то остання цифра, що зберігається, не змінюється.
2. Якщо перша з цифр, що відкидаються, більше 5, то остання цифра, що зберігається, збільшується на 1.
3. Якщо перша з цифр, що відкидаються, дорівнює 5, і за нею йдуть не нулі, то остання цифра, що зберігається, збільшується на 1.
4. Якщо перша з цифр, що відкидаються, дорівнює 5 і всі значущі цифри, що йдуть за нею дорівнюють нулю, то остання цифра, що зберігається, збільшується на 1, якщо вона непарна, і не змінюється, якщо вона парна.
4. Похибка суми та різниці наближених чисел
Абсолютна похибка суми алгебри або різниці декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел:
;
.
Гранична абсолютна похибка суми чи різниці визначається так:
;
.
Оцінимо відносну похибку суми наближених чисел. Нехай Х1, Х2 – точні числа одного знака, х1, х2 – їх наближення. Тоді
£ (1)
де.
Гранична відносна похибка суми двох чисел обчислюється як
, (2)
де.
Формули (1) і (2) можна узагальнити на випадок довільної кількості доданків:
Таким чином, при підсумовуванні чисел одного знака немає втрати відносної точності, що видно з наведених співвідношень.
Оцінка відносної похибки для різниці двох чисел здійснюється за формулою
£ ndmax,
; .
Формули для граничних відносних похибок мають вигляд:
Вочевидь, що з різниці наближених чисел відносні похибки зростають у n разів, де n > 1. При цьому можлива істотна втрата точності, яка відбувається в тому випадку, якщо числа X1, X2 настільки близькі, що їхня сумазначно перевищує їх різницю. Тоді n >> 1, що призводить до повної або майже повної втрати точності. Така ситуація називається катастрофічною втратою точності.