Правильні багатокутники, Математика

148. Ми знаємо, що коло ділиться навпіл будь-яким діаметром. Якщо побудувати 2 взаємно перпендикулярних діаметра, то при центрі отримаємо 4 прямі кути, але рівним центральним кутам відповідають рівні дуги (п. 23), і, отже, коло розділиться на 4 рівні частини. Побудувавши бісектори цих прямих кутів, розділимо коло на 8 рівних частин; далі на 16 і т. д., - взагалі, ми можемо розділити коло на 2n рівних частин.

Легко знайти спосіб поділу кола на 6 рівних частин. Так як відразу не бачимо вирішення цього завдання, то піддамо його дослідженню.

Припустимо, що задача розв'язана та коло поділено на 6 рівних частин, одна з яких є ◡AB (чер. 155). Поєднавши точки поділу з центром, отримаємо рівні центральні кути. Побудувавши радіуси OA та OB та хорду AB, ми бачимо: 1) ∠AOB = 1/3 частини випрямленого кута = 1/3 (2d) = (2/3)d, 2) ∆AOB рівнобедрений і, отже, ∠A = ∠B. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 2d, а ∠AOB = (2/3)d, то ∠A + ∠B = 2d – (2/3)d = (4/3)d. Оскільки кути A і B рівні, кожен із них = (2/3)d. Таким чином виявляється, що всі три кути в ∆AOB рівні між собою, звідки випливає, що сторони рівні, тобто AB = OA. Отже, хорда, що стягує шосту частину кола, дорівнює радіусу. Будувати хорди, рівні радіусу, ми можемо за допомогою циркуля, тому можна ділити коло на 6 рівних частин.

Взявши точки поділу через одну, розділимо коло на три рівні частини. Розділивши навпіл кути AOB, AOC і т. д., розділимо коло на 12 рівних частин, потім на 24 і т. д. - взагалі можна розділити коло на 3 * 2n рівних частин.

Згодом навчимося ділити коло на 5, 10, 20 і т. д., на 15, 30, 60 і т. д. рівних частин.

Питання про розподіл кола на рівнічастини має важливе практичного значення. Але геометр Гаус (який жив у першій половині XVIII століття) довів, що геометричними засобами, тобто за допомогою циркуля і лінійки, можна ділити коло на таку кількість рівних частин, що виражається формулою: 2n * (2n1 + 1) (2n2 + 1) (2n3 + 1). причому множники (2n1 + 1), (2n2 + 1) і т. д. повинні бути числами простими і всі між собою різні. Напр., можна розділити коло на 204 рівних частин, бо 204 = 22 * ​​3 * 17 = 22 (21 + 1) * (24 + 1), але не можна розділити коло на 9 рівних частин, бо тут множник 3 повторюється двічі.

Існують механічні способи для поділу кола з дуже великою точністю на скільки завгодно рівних частин.

Вправа. Дано кінці відрізка. Побудувати за допомогою циркуля, не користуючись лінійкою кінці вдвічі більшого відрізка.

149. Нехай коло в точках A, B, C, D і т. д. (чер. 156) поділено на кілька рівних частин. Поєднаємо ці точки хордами, кожну із сусідньою; тоді отримаємо опуклий багатокутник, вписаний у коло. Не важко побачити особливості цього багатокутника: 1) у нього всі сторони між собою рівні, тому що рівні дуги стягуються рівними хордами (п. 119) і 2) у нього всі внутрішні кути рівні між собою, оскільки ці кути вписані і спираються на рівні дуги: кожен спирається на дугу, рівну всьому колу без двох її частин, наприклад, ∠C спирається на ◡BAKED, яка дорівнює всьому колу без двох частин ◡BC і ◡CD, а вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту ж дугу ; центральні кути, що спираються на рівні дуги, рівні.

Випуклий багатокутник, що має знайдені дві особливості (всі сторони рівні, і всі кути рівні), називається правильним. Отже, ми побудували правильний записанийколо багатокутник.

Якщо в точках A, B, C і т. д. Розподілу кола на рівні частини побудувати дотичні, то, приймаючи точки перетину кожної дотичної з двома сусідніми за вершини, отримаємо опуклий багатокутник MNPQR. описаний біля кола. Цей багатокутник також правильний. У цьому переконаємося, розглядаючи трикутники AMB, BNC, CPD і т. д. Всі ці трикутники рівнобедрені: наприклад, у ∆AMB маємо ∠A = ∠B, тому що кожен з них дорівнює одному й тому ж вписаному кутку, що спирається на ◡AB (П. 133), звідки укладаємо, що MA = MB. Крім того, всі наші трикутники рівні між собою, оскільки вони мають по одній рівній стороні AB = BC = CD = … і кути, прилеглі до них, рівні, оскільки ◡AB = ◡BC = ◡CD = … З рівності трикутників укладаємо, що ∠M = ∠N = ∠P = … і, крім того, AM = MB = BN = NC = CP = …, звідки бачимо, що кожна сторона описаного багатокутника складається з двох рівних відрізків (MN = MB + BN, NP = NC + CP і т. д.), - отже, всі сторони цього багатокутника рівні між собою, тобто MN = NP = … Обидві ознаки правильного багатокутника виконані.

Отже, ми вміємо в коло вписати і біля нього описати правильні багатокутники, кількість сторін яких є така, на скільки рівних частин ми вміємо ділити коло.

150.Вправи.

1. Побудувати правильний 4-кутник (квадрат), описаний біля кола. Сторона цього квадрата дорівнює діаметру кола.
2. Побудувати правильні вписані в коло 6-кутник і 12-кутник.
3. Побудувати вписаний у коло і описаний у нього правильні трикутники. Сторона правильного описаного трикутника в 2 рази більша за сторону вписаного.
4. Побудувати правильний зірчастий 8-кутник, розділивши коло на 8 рівних частин і з'єднуючи точки поділу через дві(наприклад, на чер. 156 A з D тощо).

151. Можливе припущення, що правильний багатокутник побудований інакше без допомоги кола. Тоді виникає запитання, чи можливо в нього описати і в нього вписати кола.

Нехай маємо правильний багатокутник ABCDEF (чер. 157), отже, у нього всі боки та всі кути рівні між собою. Розділимо 2 його кута, напр., ∠A і ∠F навпіл, нехай біссектори OA і OF цих кутів перетинаються в точці O. З'єднаємо ще O з B і розглянемо ∆FOA та ∆OAB; у них сторона OA загальна, AF = AB, як сторони правильного багатокутника, кути між ними рівні, тому що OA є бісектором кута A. Звідси укладаємо, що OB = OF = OA (остання рівність справедлива тому, що в ∆OFA кути при точках F і A дорівнюють, як половини рівних кутів багатокутника ABCDEF). Далі бачимо, що ABO = AFO і дорівнює, отже, ½ кута B багатокутника, тобто OB є бісектор кута B. З'єднавши O з C, також знайдемо, що OC = OB = OA = OF і т. д. Отже, якщо приймемо O за центр і побудуємо коло радіусом OA, він пройде через усі вершини багатокутника ABCDEF. Звідси укладаємо, що біля всякого правильного багатокутника можна описати коло.

Після цього боку нашого багатокутника можна як рівні хорди побудованого кола, але ми знаємо, що рівні хорди одно віддалені від центру, т. е. перпендикуляри OM, ON, OP, опущені з O боку багатокутника, всі рівні між собою. Побудувавши, приймаючи O за центр, коло, радіусом OM, виявимо, що він пройде через точки M, N, P і т. д., і що кожна сторона AF, AB, BC і т. д. буде дотичною до цього кола. Ми можемо тепер стверджувати, що у всякий правильний багатокутник можна вписати коло.

Загальний центр кіл вписаного та описаногоназиваютьцентром правильного багатокутника. Його можна знайти побудовою біссекторів двох кутів багатокутника або побудовою перпендикулярів до двох сторін через їхню середину, або побудовою біссектора одного кута і перпендикуляра до однієї сторони з її середини.

Радіус OA описаного кола називають радіусом правильного багатокутника. Радіус OM вписаного кола називають апофемою правильного багатокутника.

---