Правити Спроможність, незміщеність та ефективність оцінок
,
тому оцінкиs2і (σ 2 ) * * не є заможними оцінками дисперсії σ 2 нормального розподілу. Оцінки, для яких співвідношенняM(θn) = θ невірно, називаються зміщеними. При цьому різниця між математичним очікуванням оцінки θnі параметром θ, що оцінюється, тобтоM(θn) − θ, називається зміщенням оцінки.
Приклад 7. Для оцінкиs2, як випливає зі сказаного вище, зсув дорівнює
.
Зміщення оцінкиs2прагне до 0 при.
Оцінка, на яку зсув прагне 0, коли обсяг вибірки прагне нескінченності, називаєтьсяасимптотично несмещенной. У прикладі 7 показано, що оцінкаs2є асимптотично незміщеною.
Практично всі оцінки параметрів, що використовуються в імовірнісно-статистичних методах прийняття рішень, є незміщеними або асимптотично незміщеними. Для незміщених оцінок показником точності оцінки служить дисперсія — чим менше дисперсія, тим оцінка краще. Для зміщених оцінок показником точності служить математичне очікування квадрата оцінкиM(θn−Θ) 2 . Як випливає з основних властивостей математичного очікування та дисперсії,
, (3)
тобто математичне очікування квадрата помилки складається з дисперсії оцінки та квадрата її усунення.
Для переважної більшості оцінок параметрів, що використовуються в імовірнісно-статистичних методах прийняття рішень, дисперсія має порядок 1/n, а зміщення - не більше ніж 1/n, деn- обсяг вибірки. Для таких оцінок при великихnдругий доданок у правій частині (3) зневажливо мало в порівнянні з першим, і для них справедливо наближена рівність
, (4)
деc- число,визначається методом обчислення оцінок Θnі дійсним значенням оцінюваного параметра θ.
З дисперсією оцінки пов'язано третю важливу властивість методу оцінювання -ефективність. Ефективна оцінка – це незміщена оцінка, що має найменшу дисперсію з усіх можливих незміщених оцінок цього параметра. Доведено, що є ефективними оцінками параметрівmі σ 2 нормального розподілу. У той же час для вибіркової медіани справедливе граничне співвідношення
.
Іншими словами, ефективність вибіркової медіани, тобто відношення дисперсії ефективної оцінки параметраmдо дисперсії незміщеної оцінки цього параметра при великихnблизька до 0,637. Саме через порівняно низьку ефективність вибіркової медіани як оцінки математичного очікування нормального розподілу зазвичай використовують вибіркове середнє арифметичне.
Поняття ефективності вводиться для незміщених оцінок, для якихM(θn) = θ для всіх можливих значень параметра θ. Якщо не вимагати незміщеності, то можна вказати оцінки, які при деяких θ мають меншу дисперсію та середній квадрат помилки, ніж ефективні.
Приклад 8. Розглянемо «оцінку» математичного очікування. ТодіD(m1) = 0, тобто завжди менше дисперсії ефективної оцінки. Математичне очікування середнього квадрата помилкиdn(m1) =m2, тобто приймаємо. Зрозуміло, однак, що статистику безглуздо розглядати як оцінку математичного очікуванняm.
Приклад 9. Цікавіший приклад розглянутий американським математиком Дж. Ходжесом:
Зрозуміло, щоTn— заможна, асимптотично незміщена оцінка математичного очікуванняm, причому, як неважко обчислити,
Остання формула показує, що при оцінціTnне гірше(при порівнянні за середнім квадратом помилкиdn), а приm= 0 - у чотири рази краще.
Переважна більшість оцінок θn, що використовуються у ймовірносно-статистичних методах, є асимптотично нормальними, тобто для них справедливі граничні співвідношення:
для будь-якогоx, де Φ(x) — функція стандартного нормального розподілу з математичним очікуванням 0 та дисперсією 1. Це означає, що для великих обсягів вибірок (практично — кілька десятків чи сотень спостережень ) розподілу оцінок повністю описуються їх математичними очікуваннями та дисперсіями, а якість оцінок - значеннями середніх квадратів помилокdn(θn).