Презентація на тему Навчальний проект на тему Найбільші та найменші значення та ізопериметричні
Подібні презентації
Презентація 10 класу з предмету "Математика" на тему: "Навчальний проект на тему: «Найбільші та найменші значення та ізопериметричні завдання в математиці» Учень 10 «А» класу Бельської Христини, Кірюхіної Таїсії.». Завантажити безкоштовно та без реєстрації. - Транскрипт:
1 Навчальний проект на тему: «Найбільші та найменші значення та ізопериметричні завдання в математиці» Учень 10 «А» класу Бєльської Христини, Кірюхіної Таїсії. Вчитель-консультант Ганієва Алсу Азватівна.
2 «Все моє, моє!» каже жадібна людина, збираючи свої руки в коло, показуючи, як багато добра він може ними захопити. При цьому не підозрюючи, що демонструє вирішення одного з найстародавніших завдань математики ізопериметричного завдання»
3 «Існує оптимальна відстань, на якій жіноча особа виглядає найпривабливіше; оскільки у двох випадках – на нульовій та нескінченній відстані – привабливість звертається в нуль (нічого не видно), то між цими межами, звісно, має існувати максимум».
4 Аргументація Щодня у нашому житті нам зустрічаються завдання на знаходження найбільших чи найменших значень, тому що розумна людина неодмінно шукає такий шлях, який допоможе йому досягти найбільшої вигоди. Але при цьому ми навіть і не підозрюємо, що в такому простому випадку ми вирішуємо ізопериметричні завдання.
14 Ізопериметричні задачі: Ізопериметричні задачі (від ізо. (грец.) - постійний і периметр) – клас завдань варіаційного обчислення на знаходження найбільшого або найменшого значення (наприклад, площі) за заданоювеличині (наприклад, периметру).
15 Цілі нашого проекту: зрозуміти, що входить до терміну ізопериметричного завдання; розглянути докази деяких ізопериметричних завдань; навчитись вирішувати ізопериметричні завдання різними методами; визначити взаємозв'язок між завданнями, що розглядаються в курсі алгебри та геометрії; виявити важливість ізопериметричних завдань у науці.
16 Принцеса Дідона – дочка фінікійського царя та дружина жерця Геракла Акербаса.
17 Завдання Дідони полягає в тому, щоб від прямої лінії берега мотузкою даної довжини відгородити ділянку землі найбільшої площі. Завдання Дідони в точності рівносильне ізопериметричній задачі.
18 Формулювання завдання Дідони: Серед замкнутих плоских фігур, що мають задану довжину, знайти криву, що охоплює максимальну площу. Серед замкнутих плоских фігур, що мають задану довжину, знайти криву, що має мінімальний периметр.
19 Завдання Пахома: Селянин Пахом, який мріяв про власну землю і зібрав, нарешті, бажану суму, постав перед вимогою старшини: «Скільки за день землі обійдеш, вся твоя буде за 1000р. Але якщо до заходу сонця не повернешся на місце, з якого вийшов, зникли гроші». Вибіг вранці Пахом, прибіг на місце і впав непритомний, обіжаючи чотирикутник периметром Р=40 км.
20 P=AB+BC+CD+AD=40 S=(2+10)/2*13=78 Складемо таблицю для обчислення площ прямокутників з різними довжинами сторін:
21 Периметр Р40 Сторони а b Площа S Висновок. Зі всіх прямокутників даного периметра найбільшу площу має квадрат. Пахом, наприклад, міг би пройти всього 36 км і мати ділянку площею 81 км²
22 Зенодор Зенодор (II століття е.), давньогрецький математик, жив у Олександрії. Жив між Архімедом (250 до н. е.), проякий він згадує, і Квінтіліаном, який згадує його.
23 Основні теореми Зенодора: З двох правильних багатокутників з рівними периметрами більшим буде той, у якого більше кутів. Якщо коло та правильний багатокутник мають однаковий периметр, то коло буде більшим. З усіх багатокутників рівного периметра та з рівним числом сторін найбільшим буде правильний багатокутник.
Остання теорема Архімеда: «З усіх кульових сегментів з рівновеликою поверхнею півкуля має найбільший об'єм».
26 Якоб Штейнер Якоб Штейнер ( ) – великий німецький геометр. Народився у Швейцарії у селянській сім'ї, Штейнер був математиком самоукою.
27 Чудовий доказ Якоба Штейнера: «Розглянемо фігуру, яка за даної довжині периметра має найбільшу площу». Чому постать взагалі існує?
28 Завдання Ферма-Торрічеллі-Штейнера На площині дано три точки А, В, С, що не лежать на одній прямій. Для якої точки Т площини сума відстаней АТ+СТ+СТ найменша?
29 Рішення Вибудуємо відрізки AT, ВТ та СТ у ламану лінію. Тепер, проте, замість симетрії застосуємо поворот. Повернемо площину на 60° навколо точки А, у своїй точка З перейде у деяку точку D, а точка Т у точку N. Трикутник AND дорівнює трикутнику АТС, оскільки перетворюється на нього при повороті на 60°, отже TC=ND. Трикутник ANT рівносторонній, тому що АТ = AN і TAN = 60 °, тому TA = TN. Отже, сума АТ+ВТ+СТ дорівнює довжині ламаної BTND, отже, вона менше довжини відрізка BD.
30 Рівність досягається, коли точки, Т, N, і D лежать на одній прямій (у зазначеній послідовності). Це означає, що BTA+ ATN=180° і, отже, BTA=120°; а також AND + ANT = 180 °, значить, AND = 120 °, тому ATC = 120 °. Таким чином, промені ТА, ТБ і ТС утворюють два кути в120 °, тому і третій кут між ними також дорівнює 120 °
31 Теорема Ферма Торрічеллі Штейнера «Якщо всі кути трикутника менше 120°, то точкою мінімуму суми відстаней до його вершин є точка Торрічеллі. Якщо ж один із кутів більший або дорівнює 120°, то такою точкою є вершина цього кута».
32 Схема розв'язання задач: Виражаємо елемент, що цікавить нас (наприклад, площа) довільної фігури, що належить до даного класу (наприклад, прямокутників) через інші елементи. Користуючись обмеженими (наприклад, заданим периметром) накладеними на фігуру, записуємо величину цього елемента через вихідні дані та незалежний параметр. Отримуємо функцію однієї незалежної змінної. Визначаємо область зміни цієї змінної. Шукаємо максимальне або мінімальне значення функції на заданій множині.
34 Підсумки: У ході нашого проекту ми з'ясували, що ізопериметричні завдання в алгебрі та геометрії справді мають найтісніший зв'язок. Розв'язавши і вивчивши завдання на знаходження найбільшого і найменшого значень, а так само геометричні задачі на знаходження найбільшої площі по заданому периметру або найбільшого об'єму по заданій площі, ми дізналися і способи розв'язання задачі, і що ці завдання дійсно мають безліч подібних рис. Ізопериметричні завдання - це не лише приклад старовинної математики, а й завдання, що зустрічаються кожному з нас у реальному житті.