Приклади універсальних алгебр, подалгебри, гомоморфізм та ізоморфізм алгебр
Нехай А є довільна множина. n-місцева операція над А є функція (відображення) f: A n → A, A n = A⋅…⋅A . Нуль — арна операція на А є елемент А. Нехай n(f) є місцевість (арність) операції на f. Універсальна алгебра є система U = (A, Ω), де А є кілька, Ω=i ni (x1,…,xn): i=1,2,…>. Тип універсальної алгебри U є послідовністю (n1, n2, ..) арностей функцій fi. Сигнатура є безліч Ω символів операцій із Ω.
Визначення : Алгебра U=(A,Ω) називається кінцевою, якщо безліч А звичайно, і кінцевого типу, якщо безліч звичайно.
Приклад: 1. Система (N,) з операцією додавання натуральних чисел є універсальна алгебра типу 2 сигнатури. 2. Система (Z, ) з операціями складання та множення цілих чисел Z є універсальна алгебра типу (2,2), сигнатури. 3. Система (Q,) з операціями додавання і т.д. є універсальна алгебра типу (2,2,2,2), сигнатури. Операцію поділу не всюди визначено. 4. Система (R,) з операціями додавання, множення, віднімання, поділу, зведення в ступінь 1, ..., n, ... є універсальна алгебра типу (2,2,2,2,1,1,1 ...), сигнатури. 5. Булева алгебра (,) є універсальна алгебра типу (2,2,2,1), сигнатури.
Визначення : Нехай U=(A,Ω) є алгебра. Суперпозиція над Ω визначається за індукцією наступним чином: 1) Будь-яка функція з Ω є суперпозиція над Ω. 2) Якщо функція f(x1, . xn)∈Ω і кожна g1,…,gn є або суперпозиція над Ω, або змінна, то f(g1,…,gn) є суперпозиція над Ω.
Зауваження : Суперпозиція над Ω є звичайна підстановка функції Ω. Нехай S(x1,…,xn) є суперпозиція над Ω в алгебрі U=(A,Ω) та елементи a1,…,an∈A, тоді S(a1,…,an) є значення суперпозиції S на a1,…, an.
Зауваження : Замикання A1 в алгебрі U є безліч усіх значень усіх суперпозицій з будь-якими аргументами A1. 1. A1⊆[A1]. 2. [[A1]]=[A1]. 3. A1⊆A2 → [A1]⊆[A2].
Визначення : Безліч A1 замкнута щодо операції f, якщо A1=[A1].
Визначення : Нехай U=(A,Ω) є алгебра, і A1⊆A — непусте підмножина в А. Безліч A1 є замикання множини A1 в алгебрі U1 якщо: 1. A1⊆[A1]. 2. ∀f n ⊆Ω для ∀a1. an∈A1 f(a1. an)∈[A1] . 3. ∀a∈[A1] (a∈A1 або існує суперпозиція g(y1. ym над Ω, ∃b1. bm∈A1).
Зауваження : Іншими словами: множина [A1] є замикання множини A1 в алгебрі U, якщо A1⊆[A1] або для будь-якої суперпозиції над Ω будь-яке її значення для будь-яких елементів A1 входить до [A1. Алгебра U1 = (A1,Ω) є подалгебра U, якщо A1 замкнуто в U, A1 = [A1]. Подалгебра U1=(A1,Ω) називається подалгеброю, породженою системою генераторів A1.
Приклад: Система (N,) (N-множина натуральних чисел). Безліч парних чисел N2 є подалгебра в алгебрі (N,).
Теорема : Якщо безліч i=(Ai,Ω) таких, що i∈I> є сімейство подалгебр алгебри U=(A,Ω), то непусте перетин (∩Ai, Ω) є подалгебра алгебри U.
Теорема : Подалгебра U[A1]=([A1], Ω) алгебри U=(A,Ω) є перетин UD=(∩Bi, Ω), Ui(Bi, Ω), i∈I . Усі подалгебри алгебри U, для яких A1⊆B1.
Гомоморфізм універсальних алгебр
Нехай UA = (A, i mi : i=1,2. >), UB=(B, i mi : i=1,2. >), є дві універсальні алгебри одного типу (n1,n2,…) . Відображення φi A→B є гомоморфізм алгебри UA алгебри UB, якщо функція φ зберігає операції в UA, тобто. для ∀a1. ani∈A для будь-якої i=1,2,… φ(fi ni (a1. ani))=gi ni (φ(a1),…,φ(ani)). Взаємнооднозначний гомоморфізм UA та UB є ізоморфізмом. Ізоморфізм UA у собі єавтоморфізм.
Зауваження : Теорія універсальних алгебр вивчає переважно абстрактні властивості алгебр, тобто. властивості, які зберігаються при гомоморфумах, ізоморфумах, автоморфумах.
Приклад: Нехай U1=(R+,) та U1=(R,) є дві алгебри, визначені на підмножинах дійсних чисел. Взаємнооднозначне відображення φ(x) = ln x: R+→R є ізоморфізмом з U1 до U2, бо φ(x,y) = ln(x*y) = ln(x) + ln(y) = φ(x) + φ(y).
Теорема : Гомоморфне відображення однієї алгебри в іншу алгебру, образ подалгебри і повний прообраз подалгебри є подалгебри.