Проблема стійкості нелінійних систем та методи її вирішення

Тому логічно прийняти, що промінь єверхнім кордономсектора "0 - К". Раніше ми вже зробили таку операцію з нижньою межею сектора, поклавши .

Приклад 1.Обчислимокпрнелінійностіφ(σ),якщо ЛЧ системи має такі дані: Приймемо: Коефіцієнт лінеаризації нелінійностейφ(σ)=k. Тоді,кпр=k*kл. Знайдемо ПФ замкнутоїлінеаризованоїНСАУ: . Обчислимо коефіцієнти полінома знаменника; .a0=0,1c 3 , a1=0,8c 2 , a2=1,7c, a3=(1+кпр).

За критерієм Гурвіца знайдемо:кпр = 12,6. На малюнку проведено (червоний) промінь із коефіцієнтомкпр=12,6(при кл=1). Таким чином, всі три нелінійностіφ1 (σ) - φ3 (σ)потрапляють до класу0-Кпрз заданої ПФ лінійної частини системиКл(s).Якщо ж матимемо кл=10, токпр=1,26і попаданняφ1 (σ)до класу0-Кстає сумнівним

Застосування критеріюПòпова для оцінки абсолютної стійкості нелінійних систем з гістерезисними характеристиками нелінійності

Нехай маємо в НСАУ статичну двозначну нелінійність з "випереджальною" гістерезисною характеристикою (тобто площу петлі гістерезису вважатимемо позитивною), ЛЧ залишається та сама.

Борис Миколайович Наумов (відомий фахівець з теорії управління нелінійними системами) пропонує брати при випереджаючому гістерезі (верхній малюнок), а при відстаючій гістерезі (рисунок нижче).

Система з нелінійністю, що володіє відстаючим гістерезисом, (за такої ж ЛЧ) буде менш стійка. (Дивися нижніймалюнок). Це можна уникнути лише зменшивши коефіцієнт передачі Кл(s).

Розглянуті варіанти застосування критерію Пóпова придатні тільки для оцінки моделей нелінійних систем зі стійкими статичними ЛЧ.

За наявності астатичних чи нестійких статичних лінійних частин у нелінійних системах їх стійкість у класі нелінійностей "0 - К" оцінюється за такою ж методикою, як і за "кругового" критерію.

Застосування критеріюПòповадля оцінки абсолютної стійкості

нелінійних систем з нейтральною (астатичною) та нестійкою

Порівняння критеріїв абсолютної стійкості Якубовича таПòпова

За круговим критерієм Якубовича досліджуються моделі НСАУ з нелінійностями, що належать до класу "К1-К2". А за критерієм Попова розглядається клас "0-К".

1. У круговому критерії Якубовича, якщок1= 0, то (формально) можна вважати к2 = к, де "к" граничне значення сектора у частотному критерії Пòпова. Проте, через точку, розташовану на осі абсцис з координатою , за критерієм Якубовича проводимо вертикальну пряму "кордону забороненої зони", а за критерієм Пóпова похилу пряму. Таким чином, для цих критеріїв заборонені зони АФХ лінійних частин НСАУ збігаються.

2. Разом з тим у критерії Пóпова необхідно застосовуватинаведену АФХлінійної частини системи:

, а у круговомукритерії Якубовича звичайну АФХ розімкнутої ЛЧ.

Оскільки для ЛЧ системи за цими критеріями абсолютної стійкості будуються різні АФГ, то результатів можуть бути отримані лише після завершення дослідження стійкості однієї й тієї самої конкретної НСАУ різними методами.