Проблема сумісності

Як ми бачили, Евклід викладає операції з геометричними величинами зовсім окремо від операцій з числами, підкреслюючи, що величини та числа – не одне й те саме. Але чи не можна було спробувати звести геометрію до арифметики? Це могло б бути досягнуто, якби будь-який відрізок уявити як кілька мінімальних, атомарних елементів, з якого складалися б усі відрізки, як числа – з одиниці. Ціла низка грецьких, та й пізніших, мислителів намагалися якимось чином реалізувати цей «геометричний атомізм».

Можливо, першими з них були піфагорійці, які вчили, що в основі будь-якої речі лежить певна кількість. Це число вони мислили непросто навіть як набір одиниць, бо як якусь структуру, яку зображували як фігури, складеної з точок (фігурні числа). Зокрема, вже піфагорійці називали складові числа – представлені у вигляді добутку двох співмножників – «плоськими числами» і зображували їх у вигляді прямокутників зі сторонами і . Складові числа, представлені як твори трьох співмножників, називалися «тілесними числами» і зображалися як паралелепіпедів. Прості числа, які не можна у вигляді творів, називалися «лінійними числами».

Піфагорійці відкрили багато властивостей чисел, пов'язаних з їхньою ділимістю і, зокрема, побудували теорію парних і непарних чисел – теорію подільності на 2. Основний результат цієї теорії полягав у тому, що добуток двох чисел парний тоді і тільки тоді, коли принаймні один із співмножників четен. З цього випливає, що будь-яке число або само непарне, або може бути однозначним чином представлене у вигляді добутку деякого непарного числа та деякою мірою двійки: .

Саме виходячи з цього результатупіфагорійці переконалися в тому, що «геометричний атомізм» неспроможний: виявляється, існують незрівнянні відрізки, тобто такі відрізки, які не можна вважати кратними одному і тому ж відрізку (не існує такого відрізка, який ціле число разів укладається як в одному, так і в іншому з даних відрізків). Цей факт виявився поворотним пунктом у розвитку математики і здобув широку популярність не тільки серед математиків, оскільки загалом суперечив звичайному уявленню. Так було у творах філософів Платона і Аристотеля нерідко обговорюються питання, пов'язані з несумірністю. «У всіх, хто ще не розглянув причину, викликає подив, якщо що-небудь не можна виміряти найменшою мірою», – писав Аристотель.

Конкретно, піфагорійці виявили, що сторона квадрата та його діагональ непорівнянні. Доказ полягав у наступному. Розглянемо квадрат. Припустимо, існує такий відрізок, який укладається раз на діагоналі та раз на стороні . Тоді: =. Вважатимемо, що хоча б одне з чисел і непарне. Якщо це не так і обидва парні, то нехай, а де і непарні; поділимо і на мінімальне з чисел і отримаємо два числа і такі, що і принаймні одне з них непарне. Надалі замість і писатимемо і вважатимемо, що одне з цих чисел непарне. Якщо побудувати квадрат зі стороною (скажімо, ), то площа цього квадрата ставитиметься до площі квадрата як до:

За теоремою Піфагора площа квадрата зі стороною вдвічі більша, ніж площа квадрата . Таким чином, . Значить – парне число. Нехай воно одно. Тоді. Так як , . Значить – теж парне. Це суперечить припущенню, що одне з чисел і непарно.

Результат про несумірність діагоналі квадрата та його сторони ми зазвичайформулюємо в такий спосіб: число ірраціонально, тобто виявляється у вигляді дробу , де й – цілі числа. Слово «ірраціональний» походить від латів. irrationalis – буквально перекладеної грецьк. терміна «алогос» («невиразний [словами]», «непропорційний», «незрозумілий», від дуже багатозначного «логос», що означав, зокрема, «слово», «пропорція», «розум», а також «вчення» та т. д., СР такі терміни, як «геологія» - вчення про Землю, «біологія» - вчення про життя і т. д.). Стародавні греки ж говорили не про «число», а про відношення діагоналі квадрата до його боку. Якщо прийняти якусь одиницю виміру, скажімо, «лікоть» (у греків була така одиниця), і побудувати квадрат зі стороною 1 (лікоть), то площа квадрата, побудованого на діагоналі, дорівнюватиме 2. Доведений результат тоді можна сформулювати таким чином : сторона квадрата, площа якого дорівнює 2, непорівнянна з одиничним відрізком. При цьому, зрозуміло, постало питання, а в якому випадку сторона квадрата, площа якого виражається певним числом, можна порівняти з одиничним відрізком, а в якому – непорівнянною? Піфагорієць Феодор у V ст. до зв. е., розглянувши числа від 3 до 17, показав, що сторона квадрата з площею, що дорівнює якомусь числу, можна порівняти з одиничним відрізком, тільки якщо це число є повним квадратом, а учень Феодора Теетет поширив цей результат на всі взагалі числа (доказ , за великим рахунком, так само, як і у випадку 2). Отже, якщо корінь з якогось натурального числа сам не є натуральним числом, то він ірраціональний. Надалі Теетет побудував доказ несумірності з одиничним відрізком боку куба об'ємом (тобто ірраціональності), якщо не є кубом будь-якого натурального числа, і навіть побудував теорію ірраціональностей різного виду –

Вона міститься у «Початках» Евкліда.

Відкриття несумірних відрізків показало, що геометричні об'єкти – лінії, поверхні, тіла – неможливо ототожнити з числами і тому необхідно будувати їх теорію окремо від теорії чисел. Що, загалом, грецькі математики і почали робити.