Проекції точки на дві та три площини проекцій
Положення точки у просторі визначається проекціями точки на двох та більше площинах. На малюнку 20 зображена система з двох взаємно перпендикулярних площин проекцій - горизонтальної П1 і вертикальної П2. Лінія перетину площин П1 і П2 називається віссю проекцій. Вона поділяє кожну площину на напівплощині.
Малюнок 20 Малюнок 21
Площини утворюють чотири кути, їх називають квадрантами чи чвертями простору. Кожна чверть має свій порядковий номер відповідно до нумерації, наведеної малюнку 20. При переході від просторового зображення до креслення, тобто. при поєднанні горизонтальної площини з фронтальною, передня підлоги площини П1 переміщатиметься на 90 градусів навколо осі Х вниз, а задня - вгору.
На малюнку 21 показано побудову проекцій точки А, розташованої I чверті. З точки А проводяться проекційні промені перпендикулярно площин проекцій П1, П2. При перетині проекційного променя з площиною П1 отримуємо горизонтальну проекцію точки А1, а з площиною П2 - фронтальну проекцію точки А2. Проекційні промені АА1 та АА2 утворюють площину перпендикулярну до площин проекцій і перетинається з віссю Х у точці Ах. Отже,проекції деякої точки виходять розташованими на прямих, перпендикулярних до осі проекцій і перетинають цю вісь в одній точці (Ах). Лінії А1Ах і А2Ах називаються лініями зв'язку.
На малюнку 22 введено третю площину -профільна П3 , перпендикулярна П1 і П2. Площини проекцій, взаємно перетинаючи, ділять простір на вісім частин, які називаються октантами.
Малюнок 22 Малюнок 23
Положення точки у просторі задається трьома координатами X, Y, Z, які визначають відстанівід точки до площин проекцій:
Координата Х – до площини П3; координата Y- до площини П2; координата Z - до площини П1 (рисунок 22). Кожна координата визначається як величиною, а й напрямом щодо початку координат (знаком). Креслення точки показано малюнку 23. З малюнків 22 і 23 видно, що проекції точки А1 і А2 розташовуються лінії зв'язку перпендикулярної осі Х, а А2 і А3 лінії зв'язку паралельної осі X.
Положення проекцій точки визначається двома координатами: горизонтальної проекції точки (А1) координатами X та Y, фронтальної проекції точки (А2) - координатами X та Z, профільної проекції точки (А3) - координатами Y та Z.
ПРЯМІ ЛІНІЇ
Пряма загального становища
Проекції прямої лінії є прямими. Щоб побудувати проекції прямої, необхідно побудувати проекції двох точок і однойменні проекції цих точок з'єднати прямими лініями. Пряма лінія у просторі може розташовуватися довільно щодо площин проекцій. Така пряма лінія називається прямий загального положення (рисунок 24).
Малюнок 24 Малюнок 25
Пряма загального становища не паралельна і перпендикулярна жодної з площин проекцій. Кут нахилу прямої до площини проекцій вимірюється кутом між самою прямою та її проекцією на цю площину. Позначаються кути нахилу до площин проекцій П1, П2, П3 відповідно a, b, g.
Довжина відрізка проекції прямого загального положення завжди менша за саму пряму.
Для визначення довжини відрізка АВ (малюнок 25) через точку А проведено відрізок АС паралельно площині П1 тоді [АС]=[А1В1].
Трикутник АВС - прямокутний та його гіпотенуза АВ є довжиною відрізка АВ. Звідси:
Довжина відрізка прямої АВ дорівнює гіпотенузіпрямокутного трикутника, у якого одним катетом є одна з проекцій прямої (будь-яка), а іншим катетом – алгебраїчна різниця відстаней від кінців іншої проекції до осі, що розділяє ці проекції.
На епюрі (рисунок 26) зображені проекції прямої АВ загального положення, показано знаходження довжини відрізка та кутів нахилу його до площин проекцій П1 та П2 – кут a та кут b відповідно. Кут нахилу прямої лінії до площини проекцій вимірюється кутом між самою прямою (натуральною величиною) та її проекцією на цю площину.
Прямі, паралельні або перпендикулярні до площин проекцій відносяться до прямого приватного положення.
Прямі рівня
Прямі рівня – прямі паралельні одній із площин проекцій. Відрізки таких прямих, на площину проекцій, якою вони є паралельними, проектуються без спотворення – в натуральну величину.
Пряма, паралельна площині П1 - горизонталь (рисунок 27). Фронтальна її проекція паралельна до осі Х. [А1В1]=[АВ] – довжина відрізка. Кути нахилу видно на кресленнях.
Пряма, паралельна площині П2 - фронталь (рисунок 28). Горизонтальна її проекція паралельна до осі Х.
Пряма, паралельна площині П3 - профільна пряма (рисунок 29).
Горизонтальна та фронтальна проекції перпендикулярні до осі Х.
Проекційні прямі
Проецирующие прямі – прямі перпендикулярні до однієї з площин проекцій і проектуються з цього площину як точки, але в дві інші – в натуральну величину.
Горизонтально проецірующая пряма - пряма, перпендикулярна до площини проекцій П1 (рисунок 30).
Малюнок 30 Малюнок 31
Фронтально проекційнапряма - Пряма, перпендикулярна площині проекцій П2 (рисунок 31).
Профільно - проекуюча пряма - пряма, перпендикулярна профільній площині проекцій П3 (рисунок 32).
Як видно з креслень (рисунки 27-32), якщо пряма займає приватне положення, то на кресленні видно довжини відрізків та величини кутів нахилу її до площин проекцій
Сліди прямий
Сліди прямої - це точки перетину прямої з площинами проекцій. Горизонтальний слід прямої M=M1 – точка перетину прямої m із площиною проекцій П1. Фронтальний слід прямої N=N2 – точка перетину прямої m із площиною проекцій П2. Профільний слід прямої площин проекцій.
Р=Р3 - точка перетину прямої АВ з площиною проекцій П3. Щоб побудувати горизонтальний слід М прямої АВ (малюнки 33, 34) потрібно продовжити фронтальну проекцію А2В2 до перетину з віссю Х і з точки М2 (фронтальна проекція горизонтального сліду) відновити перпендикуляр Х до перетину з горизонтальною проекцією А1В1. Точка М1 (горизонтальна проекція горизонтального сліду) збігається із самим слідом М.
Малюнок 33 Малюнок 34
ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ
Дві прямі можуть перетинатися між собою, можуть бути паралельними та можуть схрещуватися.
Перетинаються прямі – це прямі, які мають одну загальну точку перетину. Характерною ознакою цих прямих на ортогональному кресленні є:
1) однойменні проекції прямих перетинаються;
2) точки перетину однойменних проекцій лежать одному перпендикулярі до осі Х (рисунок 35).
Паралельні прямі – це прямі, у яких однойменні проекції паралельні між собою (рисунок 36).
Малюнок 35 Малюнок 36
Цієї умови достатньо для прямих загального становища, але недостатньо для прямих приватного становища. Щоб визначити взаємну паралельність прямих приватного положення в просторі, необхідно мати їх проекції на ту площину, якою вони є паралельними (рис. 37).
Малюнок 37 Малюнок 38
На малюнку 37 видно, що прямі не паралельні один одному, оскільки їх фронтальні проекції не паралельні.
Схрещувальні прямі - це прямі, які лежать у двох різних площинах. Характерною ознакою цих прямих є:
1) точки перетину однойменних прямих проекцій не розташовані на одному перпендикулярі до осі проекції, так як це проекції двох точок, що лежать на різних прямих (рисунок 38);
2) однойменні проекції не паралельні між собою (рис. 39). Одна пара однойменних проекцій може бути взаємно паралельна.
Точки, у яких якісь однойменні проекції збігаються на епюрі, називаються конкуруючими. Ці точки належать одному проецирующему променю. Наприклад точки 1 та 2; 3 та 4 (рисунок 38). За допомогою конкуруючих точок визначається видимість самих точок та прямих, на яких розташовані ці точки. Вони належать різним прямим АВ та СD.
У точок 1 та 2 збігаються їх фронтальні проекції, у точок 3 та 4 – горизонтальні. На фронтальній площині проекцій точка 2 закриває собою точку1, так як точка 2 віддалена від площини П2 далі, ніж точка 1. На горизонтальній площині проекцій точка 4 закриває собою точку 3, оскільки точка 4 віддалена від площини П1 далі ніж точка 3.
ПРОЄЦЮВАННЯ ПРЯМОГО КУТА