Проективна геометрія та принцип двоїстості
У подальшому розвитку проективної геометрії від початку відігравало роль різницю між синтетичним і аналітичним напрямами, як представників першого напряму я назву німецьких дослідників Штейнера і Штаудта, як представників другого — поруч із Мёбиусом, передусім, Плюккера. Основні твори цих геометрів ще й тепер не втратили свого живого впливу, це — «Систематичний розвиток взаємної залежності геометричних образів» Штейнера, «Геометрія положення» Штаудта, «Барицентричне числення» Мёбіуса (див. виноску на с. 29) і, нарешті, « Аналітико-геометричні дослідження Плюккера.
Щоб відзначити найважливіші керівні ідеї цієї «нової» геометрії, насамперед зупинюся на наступному.
1) Головна заслуга Понселе у тому, що він висловив ту думку, що з точки існують рівноцінні образи, саме на площині точці
Це вираз принципу двоїстості.
Понселе примикає у розвитку своїх ідей теорії поляр конічних перерізів (теорія взаємних поляр). По відношенню до певного конічного перерізу кожної точки належить (відповідає), як відомо, деяка пряма як її поляра; останню можна визначити, наприклад, як пряму, що з'єднує точки дотику двох дотичних до цього конічного перерізу, проведених з точки (якщо, як на рис. 48, p лежить поза кривою). Навпаки, кожній прямій я належить деякий полюс, причому має місце «закон взаємності»: поляра будь-якої точки, що лежить на прямій, проходить через . З цього здійснюваного за допомогою конічного перерізу окремого випадку відповідності між прямими і точками на площині, а також з аналогічного співвідношення між точками і площинами у просторі по відношенню до якої-небудьПоверхня другого порядку Понселе уклав, що всі пропозиції геометрії, які стосуються лише властивостей положення, до взаємної приналежності (або «зустрічі») точок, прямих і площин, можуть бути «дуалізовані» вказаним вище способом. Знаменитий приклад дає теорема Паскаля про шестикутник, вписаний у конічний переріз, яка при «дуалізації» (тобто застосуванні принципу двоїстості) переходить у теорему Бріаншона про шестисторонник з дотичних, описаному біля цього ж конічного перерізу.
2) Згодом дуже скоро дійшли глибшого розуміння принципу двоїстості. Його відокремили від теорії поляр і почали розглядати як джерело всієї своєрідної побудови проективної геометрії.
Ця чудова систематика вперше з'являється у Жергона та Штейнера. Рекомендую вам прочитати хоча б у передмові до «Систематичного розвитку взаємної залежності геометричних образів» Штейнера те місце, де він у захоплених виразах малює картину того, як проективна геометрія вперше вносить лад у хаос геометричних речень і як у ній усе розміщується цілком природним чином.
Протягом нашого курсу нам часто доведеться говорити про цю систематику, але вже тепер я хотів би дати короткий огляд її. При цьому принцип двоїстості виявлятиметься в тому, що точка і площина — або відповідно (якщо обмежуватися площиною), точка і пряма — входять до основних понять і речень («аксіоми») геометрії завжди абсолютно симетрично, тобто ці аксіоми, а отже, і пропозиції, що логічно виводяться з них, завжди попарно двоїсті. Так звані «метричні співвідношення» елементарної геометрії (як, наприклад, відстань, кут тощо. буд.) спочатку не входять у цю систематику; пізніше ми побачимо, як вониможуть бути додатково включені до неї. Більш детально ця побудова виглядає так:
a) В основу кладуться три роди образів як найпростіші: точка, (необмежена) пряма, (необмежена) площина.
b) Між цими основними образами мають місце такі співвідношення (звані аксіомами з'єднання), що не допускає винятків значимість яких досягається майстерним введенням невласних (нескінченно віддалених) елементів, яке згодом буде більш докладно роз'яснено: 2 точки визначають пряму; 3 точки, що не лежать на одній прямій, визначають площину; 2 площини визначають пряму площину, яка не проходить через одну пряму, визначають точку.
c) Тепер утворюємо основні лінійні образи (тобто такі, що аналітично визначаються лінійними рівняннями).
I. Основні образи 1-го ступеня, кожен із яких містить елементів.
а) Сукупність всіх точок однієї прямої: прямолінійний ряд точок.
) Сукупність всіх площин, що проходять через одну пряму: пучок площин.
у) Усі прямі на площині, що проходять через одну точку: (плоский) пучок прямих.
ІІ. Основні образи 2-го ступеня, кожен із яких містить елементів.
а) Площина як геометричне місце її точок: поле (плоска система) точок.
а) Площина як геометричне місце її прямих: поле (плоска система) прямих.
Р) Площини, що проходять через одну нерухому точку: зв'язування площин.
Р) Прямі, що проходять через одну нерухому точку: зв'язування прямих.
ІІІ. Основні образи 3-го ступеня з елементів кожен:
а) Простір як його точок: простір (просторова система) точок.
Р) Простір як його площин: простір (просторова система) площин.
У всій цій побудові справді скрізь виразно виступає повна двоїстість; виходячи з даних таким чином підстав, можна звести всю будівлю проективної геометрії двома способами, що знаходяться відносно взаємності один до одного: при одному способі беремо за вихідний матеріал точки, при іншому - прямі, якщо йдеться про геометрію на площині, або площині, якщо ми займаємося геометрією у просторі.