ПРОСТОРОВО-ЗАЛЕЖНІ ШВИДКІСНІ РІВНЯННЯ
Мета цієї програми - викласти опис роботи лазера на основі швидкісних рівнянь, а також вирішити ці рівняння для випадку генерації в безперервному режимі з урахуванням просторової неоднорідності швидкості накачування, так і поля в резонаторі. Внаслідок такої просторової неоднорідності інверсія населеності також виявляється просторово-залежною величиною. У всіх випадках передбачається, що лазер генерує випромінювання однієї моди.
У разі ідеального чотирирівневого лазера можна знехтувати населеність нижнього лазерного рівня; тоді інверсія населеностей дорівнюватиме N = Ы2. Таким чином, можна записати, що
Де інтеграл у рівнянні (Д. 1.1 б) береться за обсягом активного середовища, проте використані тут позначення пояснені у розділі 7. Рівняння (Д. 1.1 а) визначає локальний баланс між процесами накачування, вимушеного випромінювання і спонтанного випромінювання. Зазначимо, що у лівій частині рівняння стоїть приватна похідна, оскільки очікується, що величина N змінюється у просторі. Інтегральний член у правій частині рівняння (Д.1.16) відповідає за внесок вимушених процесів у повну кількість фотонів ф у резонаторі. Цей член введений з простих міркувань балансу на підставі того факту, що внаслідок кожного акта вимушеного випромінювання народжується фотон. Для випадку плоскої хвилі можна записати, що = аР = а1/Н і I = ср/л, де а - перетин вимушеного випромінювання, - щільність потоку фотонів, I - інтенсивність хвилі, р - об'ємна щільність енергії в активному середовищі, а п - Її показник заломлення. З цих виразів отримуємо співвідношення між W та щільністю енергії хвилі:
Незважаючи на те, що це рівняння було для простоти, виведене для випадку плоскої хвилі, можна легко помітити, що воно, по суті,описує локальне співвідношення між ймовірністю переходу та щільністю енергії електромагнітного поля. Отже, воно є вірним і для більш загального випадку і, таким чином, може являти собою співвідношення між ¥ і р для поля в резонаторі. У цьому випадку припускатимемо, що р змінюється як по координаті г, так і з часом £ (в нестаціонарному випадку), причому залежність від координати описує просторовий розподіл поля в моді резонатора. З рівнянь (Д.1.1) з урахуванням (Д.1.2) отримаємо: