Пружні хвилі

§1 Хвилі в пружному середовищі

Якщо тіло, що коливається (камертон, струна, мембрана і т.д.) знаходиться в пружному середовищі, то воно призводить в коливальний рух стикаються з ним частинки середовища, внаслідок чого в прилеглих до цього тіла елементах середовища виникають періодичні

деформації (наприклад, стискування та розтягування). При цих деформаціях серед з'являються пружні сили, які прагнуть повернути елементи середовища до початкових станів рівноваги; завдяки взаємодії сусідніх елементів середовища, пружні деформації будуть передаватися від одних ділянок середовища до інших, більш віддалених від тіла, що коливається.

Таким чином, періодичні деформації, викликані в якомусь місці пружного середовища, будуть поширюватися в середовищі з деякою швидкістю, яка залежить від її фізичних властивостей. При цьому частинки середовища здійснюють коливальний рух біля положень рівноваги. Від одних ділянок середовища до інших передається лише стан деформації.

Процес поширення коливального руху в середовищі називається хвильовим процесом або просто хвилею. Залежно від характеру пружних деформацій, що виникають при цьому, розрізняють поздовжні та поперечні хвилі. У поздовжніх хвилях частки середовища коливаються вздовж напряму поширень коливань. У поперечних хвилях частки середовища коливаються перпендикулярно до напряму поширення хвилі.

Рідкі та газоподібні середовища не мають пружності зсуву, тому в них збуджуються лише поздовжні хвилі, що поширюються у вигляді стисків і розряджень, що чергуються. Хвилі, збуджувані лежить на поверхні води, є поперечними, вони мають своїм існуванням земному тяжінню.

У твердих тілах можуть бути викликані поздовжні і поперечні хвилі.

Припустимо, що точковийджерело хвилі почало збуджувати в середовищі коливання в момент часу t = 0; по закінченню часу t це коливання пошириться з різних напрямів на відстань r = vit де vi - Швидкість хвилі в даному напрямку. Поверхня, до якої доходить коливання в певний момент часу, називається фронтом хвилі. Форма фронту хвиля визначається зміною джерела коливань та властивостями середовища. У однорідних середовищах швидкість поширення хвиля скрізь однакова. Середовище називається ізотропним, якщо ця швидкість однакова в усіх напрямках. Фронт хвиля від точкового джерела коливань в однорідному та ізотропному середовищі має вигляд сфери; такі хвилі називаютьсясферичними.

У неоднорідному і не ізотропному (анізотропному) середовищі, а також від неточкових джерел коливань фронт хвилі має складну форму. Якщо фронт хвилі є площину і ця форма зберігається в міру поширення коливань у середовищі, то хвилю називаютьплоскою.

Поверхні хвилі, точки яких коливаються в однакових фазах, називаються хвильовими або фазовими поверхнями.

Графік, що показує розподіл у середовищі коливається величини в даний момент часу, називаютьформою хвилі.

§2 Рівняння плоскої хвилі

Рівняння хвилі дозволяє знайти зміщення від положення рівноваги точки, що коливається з координатами (х, у, z) в момент часів t.

Нехай коливання точок, що лежать у площині х = 0, відбуваються за законом косинуса

Знайдемо вид коливання точок у площині, що відповідає довільному значенню х. Для того, щоб пройти шлях від х = 0 до цієї площини хвилі потрібен час v – швидкість, поширення хвилі, отже коливання частинок, що лежать у площині х, будуть відставати почасу на від коливань частинок у площині х = 0, тобто, матимуть вигляд

- рівняння падаючої хвилі, що біжить.

(Рівняння хвилі, що поширювалася в напрямку осі X).

S - зміщення точки від положення рівноваги в площині, що знаходиться на відстані x від джерела коливань;

А – амплітуда хвилі;

φ0 - початкова фаза.

Для однієї хвилі можна вибрати х та t так, щоб φ0 =0.

Для кількох хвиль це не вдається.

Якщо хвиля поширюється у бік зменшення координати х, то коливання в площині х почнуться раніше на , ніж у площині х = 0. Тоді рівняння відбитої хвилі запишеться у вигляді

- Рівняння відбитої хвилі.

§3. Поняття про фазову швидкість.

Зв'язок між фазовою та груповою швидкостями

1. Зафіксуємо якесь значення фази, що стоїть у рівнянні хвилі, що біжить

(1)

З нього випливає зв'язок між часом t і тим місцем x, в якому фаза має зафіксоване значення . Значення, що випливає з нього, дає швидкість, з якої переміщається дане значення фази. Продиференціювавши (1), отримаємо

k – хвильове число, λ – довжина хвилі.

Таким чином, швидкість v у рівнянні хвилі, що поширюється, є фазовою швидкістю, тобто. вона показує, з якою швидкістю поширюється фаза хвилі (швидкість переміщення фази).

У всіх реальних хвильових процесах доводиться мати справу з складнішими хвилями, що мають несинусоїдальний характер. Таку складну хвилю можна як суму косинусоїдальних або синусоїдальних хвиль, або як групу таких хвиль. У реальних умовах спостерігається переміщення груп хвиль, кожна з яких відрізняється від іншої частотою. У кожний момент часу можна знайти точку, в якій спостерігаєтьсямаксимум коливань, що у результаті накладання цих хвиль. У цій точці фаза будь-якої групи хвиль буде однаковою. Ця точка називається центром групи хвиль. Положення центру групи хвиль згодом змінюється. Цій точці відповідає максимум енергії коливальної групи хвиль. Енергія коливається групи хвиль переноситься зі швидкістю, що дорівнює швидкості переміщення центру групи хвиль. Цю швидкість називають груповою швидкістю. Вона позначається u.

1. Зв'язок між груповою та фазовою швидкостями.

Щоб знайти цей зв'язок, скористаємося тим, що в центрі групи хвиль фази всіх хвиль однакові. Групова швидкість дорівнює

---