Пуанкар ТЕОРЕМА - це
про повернення - одна з осн. теорем, що характеризують поведінку динамічної системи з інваріантною мірою. Прикладом такої системи єгаміл'тонова система,еволюція якої описується рішеннямиГамільтона рівнянь- канонич. координати та імпульси;i= 1, . n;H=Н(р, q)-Гамільтона функція;точкою позначено диференціювання за часомt]. Інваріантної (що зберігається
при еволюції) мірою служить обсяг
областіАу фазовому просторіМ,зберігається відповідно доЛіувіля теореми.Згідно з П. т., через будь-яку околицюUбудь-якої точкиx= (р i, qi),що належить інваріантній множині кінцевої позитивної міри зМ,проходить траєкторія, яка повертається вU.П. т. доведено А. Пуанкаре в 1890.
Загальна динамічна. система описується однопарамет-річ. групою відображень фазового простору на себе: для точкиxзМ=x(t),причому = У загальному випадкуМ- деякий простір з мірою m, інваріантність якої означає, що=m(А)для будь-якої областіАзМ.
Напр., Якщо - рішення системи диференц. ур-ний з поч. умовою інваріантна міра де - неотрицат. рішенняЛіувіля рівняння
Якщо ф-ция ГамільтонаНзалежить від часу явно, вона зберігається, а траєкторії не залишають поверхню рівняМ з: Н(р, q)=свМ.При gradН. 0 наМ зінваріантна міра на поверхні рівня задається співвідношеннямdm=ds/gradH,деds- елемент об'єму наМ с .
У загальному випадку П. т. стверджує, що у динаміч. системи з кінцевим інваріантним заходом длябагатьох точок при m(А)> 0 траєкторія повертається доА:знайдеться таке > 1, що . При нек-рих припущеннях щодоМ11. т. посилюється: траєкторії повертаються вАнескінченне число разів, тобто стійкі за Пуассоном.
Приклади: в гамільтонової системі ур-нийc = у,всі траєкторії, крім траєкторій, що лежать на рівні, є періодичними, тому повертаються в будь-яку свою околицю. ВідображенняfтораТ2 з координатами (mod 2p), що задається співвідношенням
зберігає площу. Тут періодичних точок лічильна безліч, а через безліч повної міри проходять траєкторії, що не є періодичними, але стійкі за Пуассоном.
НехайF- будь-яка безперервна ф-ція на фазовому просторіМдинаміч. системи , що задовольняє умовам П. т. Тоді для майже будь-якої точки і будь-якого, скільки завгодно малого e & gt; 0 знайдеться послідовність значень для якої т. е. значенняF(x)при русі вздовж траєкторії повторюється з будь-якою заданою точністю. На це твердження спирається відомий парадокс класич. статистич. механіки (парадокс повернення Пуанкаре - Цермело), однак, строго кажучи, жодна з використовуваних для побудови цього парадоксу ф-цій (ентропія і т. д.) не є ф-цією на фазовому просторі.
Літ.:Немицький Ст Ст, Степанов Ст Ст, Якісна теорія диференціальних рівнянь, 2 видавництва, М.- Л., 1949; Арнольд Ст І., Математичні методи класичної механіки, 2 видавництва, М., 1979.Л. М. Лерман.
Явище виходу та повернення точок областіАв задане з визнач. точністю мікроскопії. стан - надто нерегулярний процес, щоб його можна було оцінити одним характерним часом, що називається часом повернення Пуанкаре. Порівн.час повернення (цикл Пуанкаре) де - проміжок між вимірами; інваріантна міра де інтегрування проводиться по ізоенергетич. поверхніН(р, q) -=const.
П. т. не дає конструктивної побудови повернення і потребує його реалізації за допомогою деякого випадкового процесу. Порівн. час повернення вдалося оцінити М. Смолуховському (М. Smoluchowski, 1915) за допомогою випадкового процесу, що моделює броунівський рух. Він показав, що цикл Пуанкаре значно більше ймовірного часу повернення спостерігається макроскопіч. стану у вихідний рівноважний стан.
П. т. розглядає динамічні. системи зі строго фікс. енергією У статистич. фізики їм відповідають системи, що описуються мікроканоніч. розподілом Гіббса (див.Гіббса розподілу).Енергія цих систем задана з точністю можна прийняти рівною порівн.флуктуаціїенергії). Число станів, що знаходяться в шарі [визначається статистич. вагоюW (, V, N),деN- число частинок,V- обсяг], надзвичайно велике. Аналогічний розгляд можливий і для інших ансамблів Гіббса.
Реальний час повернення системи із нерівноважного стану до статистич. рівновагу може бути оцінено на підставіОнсаєєра гіпотези,що передбачає, що згасання великих флуктуації відбувається за законами термодинаміки нерівноважних процесів. Хоча великі флуктуації дуже рідкісні, всі наслідки гіпотези Онсагера добре підтверджуються експериментально і дозволяють встановити зв'язок між кінетичними коефіцієнтами і рівноважними флуктуаціями потоків>
Лит.:Смолуховський М., Молекулярно-теоретичні дослідження з питання про звернення термодинамічно незворотних процесів і про поверненняаномальних станів, в сб: Ейнштейн А., Смолухівський М., Броунівський рух, пров. з ньому., М., 1936, с. 273; Кац М., Імовірність та смішні питання у фізиці, пров. з англ., М., 1965.