Різноманітність
Значення слова "Розмаїття" у Великій Радянській Енциклопедії
Розмаїття, математичне поняття, що уточнює та узагальнює на будь-яке число вимірювань поняття лінії та поверхні, що не містять особливих точок (т. e. лінії без точок самоперетину,
 |
| Мал. 1. Одновимірні різноманіття. |
Прикладом одновимірногоРозмаїття можуть служити пряма, парабола, коло, еліпс, взагалі будь-яка лінія, у кожної точки якої існує околиця, що є взаємно однозначним і безперервним (або, як кажуть у топології, гомеоморфним) чином інтервалу (внутрішньої частини відрізка прямої). Інтервал сам є одновимірнимРозмаїття, а відрізок не єРозмаїття (оскільки кінці його не мають околиць зазначеного виду).
Прикладом двовимірногоРозмаїття може служити будь-яка область на площині (наприклад, начинка колаx2 +y2 2 ), сама площина, параболоїд, сфера, еліпсоїд, тор і т. п. ДвовимірніРозмаїття характеризуються тим, що у кожної їх точки є околиця, гомеоморфна начинки кола. Ця вимога виключає, наприклад, з числа двовимірних конічну поверхню (її вершина, в якій сходяться дві її порожнини, не має необхідного виду околиці). Однак виділяють спеціальний клас об'єктів, які не задовольняють цю вимогу, - т.з. різноманіття з краєм (наприклад, замкнене колоx2 +y2 £r2 ).
Прикладом тривимірногоРозмаїття може служити звичайний евклідовий простір, а також будь-якевідкрите безлічв евклідовому просторі. ТривимірніРозмаїття характеризуються тим, що у кожної їх точки є околиця, гомеоморфна начинки кулі.
Розмаїття поділяються на замкнуті та відкриті (визначення див. нижче). У разі одного виміру кожне замкнутеРозмаїття гомеоморфно кола, а кожне відкрите - прямий (нарис. 1 зображені одновимірніРозмаїття і околиці точки Р кожному з них). Що стосується двох вимірів вже замкнутіРозмаїття досить різноманітні. Вони розпадаються на нескінченну кількість топологічних типів: сфера - поверхня роду 0 (рис. 2, а), тор - поверхня роду 1 (рис. 2, б), «крендель» - поверхня роду 2 (рис. 2, в), взагалі «сфера зnручками» - поверхня родуn(нарис. 2, г зображена така поверхня приn= 3). Цими прикладами вичерпуються всі топологічні типи замкнутих двомірних орієнтованихРозмаїття (див. такожОрієнтована поверхня).Існує ще нескінченна кількість замкнутих двовимірних неорієнтованихРозмаїття - односторонніх поверхонь, наприкладпроективна площина,т.з. односторонній тор (Клейна поверхня).Є і класифікація відкритих двовимірнихРозмаїття Повна класифікаціяРозмаїття трьох вимірів не знайдена (1974) (навіть для випадку замкнутихРозмаїття ).
Розмаїттямnвимірювань (абоn-вимірним різноманіттям) називається всяке хаусдорфовотопологічний простір,має наступну властивість: кожна його точка має околицю, гомеоморфну начинкиn-мірної кулі, і весь простір може бути представлений у вигляді суми кінцевої або нескінченної(лічильного) безлічі таких околиць.Розмаїття називається замкнутим, якщо воно компактне (див.Компактність),в іншому випадку - відкритим. Іноді до визначенняРозмаїття додають ще вимога його зв'язності: кожні дві точкиРозмаїття можуть бути в ньому з'єднані безперервною дугою.
Введення в математику поняттяРозмаїття будь-якого (натурального) числа вимірюваньnбуло викликано дуже різноманітними потребами геометрії, математичного аналізу, механіки та фізики. Важливість достатньої широти розумінняРозмаїття як топологічного простору заснована на тому, що точками так визначенихРозмаїття можуть бути об'єкти будь-якої природи, наприклад прямі, сфери, матриці і т.д.
При належному додаванні вимог до визначенняРозмаїття встановлюється поняття гладкого, або диференційованого, різноманіття. На гладкомуРозмаїття є можливість розглядати диференційовані функції та диференційовані відображення в себе або в інші гладкіРозмаїття ГладкіРозмаїття мають особливо велике значення в сучасній математиці, оскільки саме вони найбільше широко використовуються в додатках та суміжних областях (наприклад,конфігураційні просториіфазові просторив механіці та фізиці). На гладкихРозмаїття можна ввестиметрику,перетворивши його наримановий простір.Це дозволяє будувати диференціальну геометрію наРозмаїття Наприклад, ввівши деяким чином метрику в конфігураційному просторі механічної системи, можна витлумачити траєкторії руху як геодезичні лінії в цьому просторі (див.Найменшої діїпринцип).Розмаїття, для елементів якого визначено (диференційоване) множення, що перетворюєРозмаїття на групу, називається групою Лі (див.Безперервна група).
ПоняттяРозмаїття відіграє велику роль у теорії алгебраїчних функцій, безперервних груп і т. д. У всіх цих додатках істотні властивостіРозмаїття, що не змінюються при топологічних перетвореннях, - т.з. топологічні характеристики. До них відносяться, наприклад, орієнтованість або неорієнтованістьРозмаїття (див.Орієнтація).Вивчення цих властивостей є одним з найважливіших завдань топології.
Літ.:Александров П. С. та Єфремович Ст А., Нарис основних понять топології,Розмаїття - Л., 1936; Александров П. С., Комбінаторна топологія,Розмаїття - Л., 1947; Ленг С., Введення в теорію різноманітностей, що диференціюються, пров. з англ.,Розмаїття, 1967.