Розпад нестабільного вакууму • Ігор Іванов • Науково-популярні завдання на «Елементах» • Фізика
Нещодавно в ЗМІ пройшла новина з надзвичайно панічним заголовком: фізики нібито з'ясували, що хіггсовський бозон стане причиною смерті Всесвіту! Детальний опис того, що насправді мало на увазі, можна знайти в нашій новині Чутки про смерть Всесвіту сильно перебільшені. Цей опис корисно завершити завданням, яке з невеликими підказками буде під силу і хорошому школяреві. У ній йтиметься багато про квантовий розпад вакууму.
Мал. 1.Міхура справжнього вакууму у Всесвіті, що існувала в стані помилкового вакууму. З такого міхура починається квантовий розпад помилкового вакууму в теоріях з нерівноправними вакуумами
У квантовому світі існує таке явище, як тунелювання. Так називають переміщення квантової частки, яке було б неможливим у рамках класичної механіки. Наприклад, нехай у нас є подвійна потенційна яма, в якій один мінімум трохи глибший за інший (рис. 2). Класична механіка каже, що й частинку покласти на дно менш глибокої ями, вона так назавжди і залишиться там лежати. Квантова ж механіка передбачає, що частка не буде там знаходитися вічно: через деякий час її можна буде знайти в більш глибокому мінімумі. Вона протунелювала незважаючи на те, що її енергії недостатньо для спокійного переміщення поверх потенційного бар'єру, що поділяє два мінімуми.
Мал. 2.Частка у потенціалі з двома різними мінімумами. У класичній механіці частка може завжди лежати в менш глибокому мінімумі (ліво); у квантовій механіці через якийсь час відбудеться тунелювання частки у глибший мінімум (право)
Виявляється, щось аналогічне може відбуватися і з вакуумом. У квантовій теорії полявакуум - це стан поля з нижчою (щодо помірно великих відхилень) енергією. Для звичайних частинок чи полів вакуумний стан – це просто відсутність будь-яких частинок. Хіггсівське поле особливе, у нього енергетично найвигідніший стан може бути зовсім не порожнім. Всесвіт у результаті виявляється заповнений однорідним хиггсовским полем. (Докладніше див. на сторінці про хіггсовський механізм.)
Найпростіший варіант такої ситуації — це «хіггсовське» полеh(r) з такою щільністю потенційної енергії (його ще називають «потенціал»):
Тутr- це тривимірна просторова координата,v- деяка величина розмірності енергії (для справжнього хіггсівського поля вона приблизно дорівнює 246 ГеВ). Мінімальною енергія буде тоді, коли у всьому просторі полеh(r) дорівнюватиме константі:vабо –v. Будь-яке поле, що змінюється в просторі, обов'язково приведе в цілому до більшої енергії. Висота потенційного бар'єру, що поділяє два мінімуми, дорівнює
Мал. 3. У деяких хіггсовських механізмах може виникнути ситуація з двома нерівноправними вакуумами. В цьому випадку час до розпаду сильно залежить від відношенняδ/ε
У такому вигляді обидва значення вакуумного середнього поля є рівноправними, оскільки потенціал симетричний. Але виявляється, у немінімальних варіантах хіггсовського механізму можлива ситуація, що нагадує рис. 2. Вони потенціал трохи перекошений «на користь» одного з мінімумів (рис. 3). Форма і висота потенційного бар'єру при цьому практично не змінюється (так що можна користуватися формулою дляδ), але між двома мінімумами є перепад у щільності енергіїε. Той факт, що перекіс невеликий означає, щоδ/ε≫ 1.
Тепер самийважливий момент. Два «вакууми» тепер різні. Той, що глибше, — справжній вакуум — відповідає мінімальній густині енергії, і він вічний. Той, що вищий, — хибний вакуум — не зовсім стабільний. До певного часу він може виглядати як нормальний вакуум, і в ньому теж можуть літати частки, відбуватися взаємодії та утворюватися зірки та планети. Але завжди існує ймовірність, що цей вакуум «зламається», що він протунелює більш стабільний істинний вакуум.
Цей квантовий розпад вакууму має такий вигляд. У якийсь момент у Всесвіті, що знаходиться в стані «неправдивого вакууму», з'являється міхур справжнього вакууму (рис. 1). "З'являється" - це умовне твердження; це означає, що в цій галузі простору хіггсовське поле протунелювало у справжній вакуум. Перехід між областю істинного та помилкового вакууму не може бути розривним, теорія такої можливості не допускає. Тому є тонка проміжна зона (стінка міхура), в якій хіггсовське поле плавно переходить від одного вакууму до іншого, долаючи по шляху потенційний бар'єр.
Якщо цей міхур енергетично вигідний, він почне розширюватися, спочатку повільно, але потім розжене до швидкості світла. При такому переході властивості частинок різко зміняться, а у Всесвіті виділиться багато додаткової енергії, яка була раніше запасена у хибному вакуумі. Іншими словами, наслідки такого розпаду вакууму будуть катастрофічними для будь-яких структур, які населяли «старий» Всесвіт. Цей процес багато в чому нагадує закипання перегрітої рідини, тільки, зрозуміло, масштаби не ті.
У рамках цієї моделіоцінітьхарактерний час, через який розпадеться метастабільний вакуум залежно від відношенняδ/ε≫ 1.
Пояснення щодо одиниць вимірювання тарозмірностей.У квантовій механіці часто використовуються так звані природні одиниці виміру, в яких все виражається через енергії, а постійна Планка (ħ) і швидкість світла (c) включаються у визначення одиниці виміру. У результаті довжина виражається над метрах, а зворотних енергетичних одиницях, наприклад Дж –1 чи эВ –1 . Перехідним коефіцієнтом є комбінаціяħc: наприклад, 1 ГеВ -1 відповідає довжині = 1 ГеВ -1 ·ħc= 0,197 фм. Тому щільність енергії, справжня розмірність якої є Дж-м -3 , виражається тут в одиницях енергії в четвертому ступені. Відповідно, коефіцієнт поверхневого натягу з розмірністю Дж-м -2, в природних одиницях виражатиметься через енергію в кубі.
Підказка 1
Зрозуміло, чесне повноцінне рішення є серйозним науковим завданням. Проте дуже грубу оцінку часу життя можна з досить простих міркувань, які спираються на аналіз розмірностей. Відразу скажемо, що час до розпаду буде експоненційно велике,T
e Bі потрібно оцінити, як величинаBзалежить від відношенняδ/ε.
Підказка 2
Розглянемо нерухомий міхур «істинного вакууму» радіусуRу Всесвіті, що знаходиться в стані «хибного вакууму». Оцінимо повну енергію цього міхура щодо хибного вакууму. Бульбашка заповнена справжнім вакуумом, який надає бульбашці негативну енергію. Однак у міхура є тонкі стінки, в яких хіггсовське поле плавно переходить від справжнього вакууму в хибний. Ці стінки мають позитивну енергію, за аналогією з поверхневим натягом на межі рідини. Виходячи з міркувань розмірності, оцініть коефіцієнт поверхневого натягу стінки цієї задачі. Після цьогознайдіть критичний розмір міхура, який повинен з'явитися десь у Всесвіті, щоб з нього почався розпад вакууму. На останньому кроці постарайтеся зрозуміти, як ймовірність появи такого міхура у Всесвіті залежить від його розміру. Потім підставте знайдений розмір та отримайте відповідь.
Крок 1.Повна енергія тонкостінного міхура радіусуRдорівнює
Критичний розмір міхура, з якого почнеться розпад вакууму у всьому Всесвіті, обчислюється так само, як і критичний розмір бульбашки пари для початку кипіння перегрітої рідини. Треба лише щоб повна енергія цього міхура була негативною. Звідси отримуємо, що критичний радіус міхура дорівнює
Величину поверхневого натягуσможна оцінити за розмірністю, але є одна тонкость. Взагалі, оцінки з урахуванням розмірностей працюють тоді, як у задачі немає безрозмірного параметра. Тут такий параметр є:δ/ε. Тому на основі одних міркувань розмірності не можна сказати, чи будеσпорядкуδ3/4 , або порядкуε3/4 , або їх будь-якої комбінації відповідної розмірності.
На допомогу тут приходить додатковий фізичний аргумент. Величинаεу цю формулу не повинна входити, принаймні поки вона залишається маленькою. Справді, поверхневе натяг виникає тут, тому що хіггсовське поле «перевалює через гору». Наявність невеликого «перепаду висот» тут значної ролі не грає; приблизно те ж поверхневе натяг буде і при нульовомуε. Тому можна звідси зробити висновок, щоσ
v3 (на можливий чисельний коефіцієнт ми уваги не звертаємо, нас цікавить лише залежність між величинами). Звідси отримуємо, що критичний розмір міхура по порядку величини дорівнює
Крок 2.Тепер треба отримати ймовірність виникнення такого міхура у Всесвіті. Давайте уявімо, що весь простір «розбитий» на маленькі об'ємники розміруr= 1/v(в природних одиницях!). Такий розмір вибраний не випадково: за співвідношенням невизначеності, на такому розмірі можуть відбуватися квантові флуктуації з енергіями порядкуv. Це означає, що щільність потенційної енергії хіггсівського поля флуктує до величин порядкуv4 =δ. Іншими словами, в такому об'ємчику хіггсовське поле легко стрибає туди-сюди, і може, зокрема, перевалити через потенційну гору.
Позначимо через ймовірність того, що в цьому маленькому об'ємчику за час τv = 1/vвідбудеться перескок з помилкового вакууму в істинний. Зрозуміло, що ця можливість велика. Точне значення нам зовсім не важливе, це може бути і 99%, і 50%, і 1%, на оцінки це не вплине. Натомість нам буде зручно записати цю ймовірність в експоненційному вигляді:p=e–q, де числоqпорядку одиниці.
Для виникнення міхура справжнього вакууму нам необхідно, щоб цей перескок відбувся синхронно (тобто в межах часуτv) одночасно у всьому міхурі розміруRc. У цьому міхурі є
маленьких об'ємників, і кожен із них перестрибує незалежно з ймовірністюp. Отже, ймовірність того, що всі вони одразу перестрибнуть, дорівнює
причому чисельним коефіцієнтомq, що порядку одиниці, ми тут знехтували. Підставивши знайдені вище величини, отримаємо ймовірність народження міхура в заданому місці простору за часτv:
Крок 3.Тепер врахуємо розміри видимої частини Всесвіту, радіус якого позначимо черезUA. Критична бульбашка може народитися в будь-якому місці Всесвіту, якийвміщує (RU/Rc) 3 таких бульбашок. Якщо чекати протягом часуT, то у Всесвіту будеT/τvспроб породити такий міхур. Тому якщо чекати дуже довго і дивитись на весь Всесвіт загалом, то рано чи пізно це десь станеться. Типовий час очікування буде порядку
Видно, що дляδ/ε≫ 1 цей час може бути дуже великим.
В принципі, це вже і є відповідь. Але тут корисно ще сказати ось що. Акуратніший аналіз показує, що величинаBмістить ще й досить великий чисельний коефіцієнт:
Тому навіть якщо відношенняδ/εне таке вже й велике, наприклад дорівнює двійці, то показник експонентиBвсе одно буде більшим, так що час життя метастабільного вакууму вийде величезним, що набагато перевищує нинішній вік Всесвіту.
Післямова
Такого типу оцінки — не у застосуванні до хіггсівського бозону, а в ширшому контексті — були вперше дані радянськими фізиками Кобзарєвим, Окунем та Волошиним у 1974 році. Через три роки завдання було вирішено Коулменом набагато суворішим способом. Потім був ряд робіт з ще акуратнішим аналізом розпаду метастабільного вакууму, в якому, до речі, дуже важливими виявилися гравітаційні ефекти. Цей процес, та й сама можливість використовувати метастабільний вакуум, потім міцно увійшли в космологію як можливий сценарій еволюції Всесвіту на її ранніх стадіях.
Цікаво, що нещодавно у цій історії трапився ще один зигзаг. Півтора року тому були висловлені підозри, що метастабільні вакууми взагалі не можуть існувати в нашому просторі-часі, оскільки вони розпадаються зовсім не повільно, як вважалося досі, а навпаки — нескінченно швидко. Однак потім на ціпідозра була висунута контрзаперечення: висновок про нескінченно швидкий розпад базується на невиправданій екстраполяції формул за межі застосування відомих нам законів фізики. Так що тривога виявилася хибною, і метастабільні стани вакууму, принаймні теоретично, допустимі.
Повертаючись до обговорень того, чи стабільний хіггсовський вакуум Стандартної моделі, підкреслимо, що там ситуація трохи інша (потенціал виглядає інакше, та й числа сильно відрізняються). Але загальна «мораль» залишається такою самою: якщо бар'єр високий, то чекати розпаду доведеться дуже довго, якщо бар'єр невеликий, то розпад буде досить швидким. Нам це, на щастя, не загрожує.