Розрахунок моменту інерції маятника
Поки сила тяжкостіР, прикладена в центрі масС, спрямована вздовж осі стрижня (рис. 5.1,а), система знаходиться в рівновазі. Якщо відхилити стрижень на деякий малий кут (рис. 5.1,б), то центр масСпіднімається на невелику висоту і тіло набуває запасу потенційної енергії. На маятник щодо осіО, напрямок якої вибираємо «до нас», буде при цьому діяти момент сили тяжіння, проекція якого на цю вісь дорівнює
, (5.1)
де;L- відстань між віссю обертанняОі центром масС.
Обертальний моментМ, створюваний силоюР, при малих кутах дорівнює
.
Він викликає прискорення при обертальному русі маятника. Зв'язок між цим прискоренням та моментом сил дається основним рівнянням динаміки обертального руху
, (5.2)
деJ- момент інерції маятника щодо осіО.
. (5.3)
Тоді з рівняння (5.2) отримаємо
. (5.4)
Рівняння (5.4) описує коливальний процес із циклічною частотою .
Період коливань, отже, дорівнює
. (5.5)
З формули (5.5) висловимо момент інерції
. (5.6)
Якщо положення центру мас системи не змінюється, то величинаLпостійна і формулу (5.6) можна ввести постійний коефіцієнт
. (5.7)
Вимірюючи часt, протягом якого відбуваєтьсяnповних коливань, знайдемо період . ПідставляючиTіK(5.6), отримуємо робочу формулу
. (5.8)
За допомогою формули (5.8) виробляються непрямі виміри моменту інерції фізичного маятника щодо осіО.
З іншого боку, момент інерціїJзалежить від положення вантажів на стрижні. Перемістимо вантажі пострижню так, щоб вони розташовувалися симетрично щодо деякої точкиА. Ця математична точка обрана довільно поблизу середини стрижня. Центр мас системи при цьому зберігає своє місцезнаходження. Вважатимемо розміри вантажів малими порівняно з і (див. рис. 5.1). Тоді їх можна як матеріальні точки. І тут момент інерції системи визначається виразом
, (5.9)
де - Момент інерції системи без вантажів;x– відстань вантажу до точкиА;l– відстань точкиАдо осі обертання маятникаО.
Перетворюючи формулу (5.9), отримуємо
, (5.10)
де - момент інерції маятника при положенні вантажів у точціА.
Залежність (5.10) перевірятимемо, отримуючи величиниJіJAекспериментально за допомогою формули (5.8).
Завдання до роботи
1. Під час підготовки до лабораторної роботи отримайте розрахункову формулу для похибки непрямих вимірів DJмоменту інерції (див. Введення). Зверніть увагу, що момент інерції визначається за допомогою робочої формули (5.8). Для спрощення обчислень вважатимуться, що коефіцієнтKу цій формулі виміряно точно: DK= 0.
2. Підготуйте ескіз табл. 1 для статистичної обробки прямих п'ятикратних вимірів часуt(зразок див. Введення табл. В.1).
3. Підготуйте ескіз табл. 2 для дослідження залежностіJвідx2 .
4. Увімкніть електронний секундомір. Натисканням кнопки «Режим» встановіть режим №3 (світиться індикатор «Реж.3»), при цьому вимкнеться гальмівний пристрій, що утримує тіло.
5. Приступаючи до роботи, помістіть обидва вантажі в точціА(її положення вказано в таблиці вихідних даних, розміщеній у Додатку та біля лабораторної установки, на якійВам доведеться працювати).
6. Відхиліть маятник рукою на невеликий кут, і в момент відпускання маятника увімкніть секундомір натисканням кнопки «Пуск». Відрахувавши 10 повних коливань маятника, зупиніть секундомір натисканням кнопки "Стоп". Запишіть отриманий час у таблицю вимірів.
7. Проведіть п'ятикратні виміри часуtдесяти повних коливань фізичного маятника, не змінюючи положення вантажів.
8. Розрахуйте середній час та визначте довірчу похибку вимірювання Dt.
9. Використовуючи робочу формулу (5.8), визначте значення моменту інерціїJA, а за формулою, отриманою в п. 1 цього завдання, визначте похибку вимірювання цієї величини DJ. Результат запишіть у вигляді та занесіть у табл. 2 для значення.
10. Розсуньте вантажі симетрично щодо точкиАна відстань (див. рис. 5.1). Рекомендується відстань взяти рівним значенню, яке використовувалося в індивідуальному завданні. Проведіть одноразові вимірювання часуtдесяти повних коливань фізичного маятника.
11. Повторіть досвід п. 7 за п'яти різних відстанейx.
12. Визначте момент інерції маятника за допомогою формули (5.8) за різних відстанейx. Результати занесіть до табл. 2.
13. Побудуйте графік залежності моменту інерції маятника відx2 , використовуючи табл. 2. Нанесіть на цей же графік очікувану залежність (5.10). Проведіть порівняння та аналіз отриманих результатів.
Контрольні питання
1. У чому мета цієї роботи?
2. Що таке момент інерції тіла? У чому його фізичне значення?
3. Сформулюйте та застосуйте до цієї роботи основний закон динаміки обертального руху.
4. Що таке центр мас системи?
5.Чому розташування центру мас маятника не змінюється при зміні положення вантажів?
6. Знайдіть момент інерції системи щодо центру мас, задаючи або вимірявши потрібні для цього величини.
7. Сформулюйте закон збереження енергії та запишіть його стосовно фізичного маятника.
8. Як отримати робочу формулу (5.8) та залежність (5.10)?
9. Як отримати формулу для розрахунку похибки непрямих вимірів моменту інерції?
10. Як формулюється теорема Штейнера? Як можна застосувати її до досліджуваної системи?
11. Чому пропонується збудувати графік залежності моменту інерції від квадрата величиниx?
12. Що таке момент сили, кутова швидкість, кутове прискорення, кутове переміщення, як спрямовані ці вектори?
Індивідуальні завдання для членів бригади,
виконують лабораторну роботу на одній установці