Розв’язання кубічного рівняння в гіа

Вітаю! Підкажіть, будь ласка, не вдається вирішити рівняння:

Я знаю відповідь: 2,-2, 7 Але у мене такої не вийшов. Дякую.

заданий3 Квіт '12 18:15

ВладиславМСК 351 ● 7 ● 25 ● 65 99% прийнятих

Перевір рівняння. Якщо це рівняння має коріння $%2, -2, 7$%, то воно має бути таким $%x^3-7x^2-4x+28=0$% рівносильно $%x^3-4x-7x^2 +28=0$% рівносильно $%x(x^2-4)-7(x^2-4)=0$% рівносильно $%(x-7)(x^2-4)=0$% рівносильно $%(x-7)(x-2)(x+2)=0$%.

відповідь3 Кві '12 19:28

ТО є, розкласти та зібрати?

Так. Можна ще перевірити дільники 28 (32).

Зауваження до завдання

$% x = 2 \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow 2^3 - 7 \times 2^2 - 4 \times 2 + 32 = 0) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow 4 = 0) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 \neq 0 \leftrightarrow 4 \neq 0) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 \neq 0 \leftrightarrow True) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 \rightarrow x^3 - 7x^2 - 4x + 32 \neq 0 $%

На мою думку, одним з коренів рівняння, що обговорюється,точніше вважати число 2 + 1/5. Пояснюю:

$% x = \frac \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow (\frac)^3 - 7 \times (\frac)^2 - 4 \times \frac + 32 = 0 ) $%

$% \Leftrightarrow x = \frac \rightarrow (Equation[x] \leftrightarrow - \frac = 0) $%

$% \Leftrightarrow x = \frac \rightarrow (Equation[x] \leftrightarrow -0,032 = 0) $%

Вказане число (11/5) можна знайти за допомогою таких міркувань

$% x = 2 + \varepsilon \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow (2+ \varepsilon)^3 - 7(2 + \varepsilon)^2 - 4(2 + \varepsilon) + 32 = 0) $%

$% \Rightarrow x = 2 + \varepsilon \rightarrow (E[x] \rightarrow (2 + \varepsilon)^3 - 7(2 + \varepsilon)^2 - 4(2 + \varepsilon) + 32 = 0) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \rightarrow (2^3 + 3 \times 2^2 \varepsilon + o_1 (\varepsilon)) - 7(2^2 + 2 \times 2^ 1 \varepsilon + o_2 (\varepsilon)) - 4(2 + \varepsilon) + 32 = 0 $%

$% \Leftrightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \rightarrow -20 \varepsilon + 4 = 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) $%

$% \Rightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow -20 \varepsilon + 4 = 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 ( \varepsilon) \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 $%

$% \Rightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow -20 \varepsilon + 4 = 0 $%

$% \Leftrightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge \varepsilon = \frac $%

$% \Rightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x = 2 + \frac $%

$% \Leftrightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x = \frac = 2, $2%

Повторюючи попередні міркування, знаходимо

$% x = \frac + \varepsilon \rightarrow (E[x] \leftrightarrow (\frac + \varepsilon)^3 - 7(\frac + \varepsilon)^2 - 4(\frac + \varepsilon) + 32 = 0) $%

$% \Rightarrow x = \frac + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x = \frac = 2,198. $%

У загальному випадкузнаходимо

$% x_j = x_ + \varepsilon \rightarrow (E[x_j] \leftrightarrow (x_ + \varepsilon)^3 - 7(x_ + \varepsilon)^2 - 4(x_ + \varepsilon) + 32 = 0) $%

$% \Rightarrow x_j = x_+\varepsilon \wedge E[x_j] \wedge 7 o_2 (\varepsilon)-o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x_j = (32 + 7x_^2 - 2x_^3) : (4 + 14x_ - 3x_^2) $%

Припускаю, що відповідь можна записати у вигляді

$% x \in \mathbb \Rightarrow x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow x_0 \in \ \wedge \forall i (i \in \mathbb \rightarrow x_i = \frac^2 - 2x_^ 3> - 3x_^2>) $%

---