Середня квадратична помилка положення кінцевої точки полігонометрії
7.4Середня квадратична помилка положеннякінцевої точки полігонометрії
Хід витягнутий (кути не виправлені за нев'язку).
Раніше були отримані формули для обчислення компонентів , (7. 20 ) та (7.2 8 )
;
За цими величинами можна знайти середню квадратичну помилку самого вектораМ(рис.7.4) за формулою:
(7.29)
а підставивши значення з (7.20) та (7.28) отримаємо:
Ця величина називається середньою квадратичною помилкою положення кінцевої точки полігонометрії.
Як очевидно з (7.30), помилка останнього кута n+1 не впливає величину поперечної невязки, тобто. хід вважається ніби висячим. Це і зрозуміло, тому що кути за кутову нев'язку не виправлялися.
Насправді кути, зазвичай, виправляються за кутову нев'язку шляхом її розподілу порівну попри всі кути. У цьому випадку поперечна нев'язка буде інша, тому буде інша формула для обчислення середньої квадратичної помилки положення кінцевої точки полігонометрії ходу. Ця формула наводиться наприкінці цього параграфу.
. Хід вигнутий (кути не виправлені за кутову нев'язку).
У ході полігонометрії довільної форми виникають нев'язкиx,y,S, що обчислюються за формулами (7.17), (7.18).
Якщо в тому самому ході виміряти всі кути і лінії «k» разів, то можна знайти «k» значень нев'язокx,y,S, тобто.
Склавши почленно всі рівні і розділивши ліву та праву частини на «k», отримаємо:
Кожен член цієї рівності є відповідним середнім квадратичним значенням. Тому рівність можна переписати
(7.31)
Для встановлення залежності міжМта помилками вимірювання довжин лінійmSта кутівmвізьмемо без виведення координатні умовні рівняння для одиночного перебігу полігонометрії. (Виведення цих формул буде розглянуто щодо врівноваження полігонометрії).
(7.32)
i— дирекційний кут лінії,
, - Різниці координат кінцевої і кожної з точок ходу,
x,y— нев'язки у приростах координат, які є дійсними помилками в координатах кінцевого пункту полігонометрії.
Перенісши нев'язкиx,yу праву частину матимемо
(7.33)
Оскільки поправка і помилка різняться між собою лише знаком, можна записати:
деdSiтаdi– помилки вимірювання довжин ліній та кутів.
З огляду на це попередній вираз (7.33) можна переписати:
(7.35)
Звідси за правилами теорії помилок обчислюємо середні квадратичні помилки:
Підставляємо ці значення формулу (7.31), отримаємо середню квадратичну помилку положення кінцевої точки ходу полігонометрії:
,
але так як , то
(7.37)
(7.38)
Як видно з малюнка 7.6Dn+1,iє відстань між останньою таiтією точкою ходу .
Рисунок 7.6 – Схема визначення середньої квадратичної помилки положення кінцевої точки висячого полігонометричного ходу
З урахуванням (7.38) формулу (7.37) перепишемо
(7.39)
За цією формулою обчислюється середня квадратична помилка положення кінцевої точки висячого вигнутого полігонометричного ходу. За цією ж формулою можна обчислити середнюквадратичну помилку положення будь-якої точки висить полігонометричного ходу При цьому підnмається на увазі число ліній від початкової точки до визначається.
Як видно з формули (7.39) величинаМзалежить не тільки від помилок виміру довжин і кутів, а й від ступеня вигнутості ходу та кількості кутів повороту в ньому. Розмір тим менше, що більше витягнутий хід і що менше у ньому кутів повороту.
Отримана формула не враховує помилок вихідних даних. В цьому випадку помилка в положенні кінцевої точки ходу буде і нев'язкою цього ходу. Насправді вихідні координати та дирекційні кути самі містять помилки, тому між нев'язкою та помилкою положення точки буде деяка різниця. У цьому випадку для обліку помилок польових вимірів та помилок вихідних даних користуються формулою:
(7.40)