СФЕРИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
Сферична геометрія - розділ математики, в якому вивчаються фігури, розташовані на сфері (див. Сфера та куля). Сферична геометрія виникла у зв'язку із потребами астрономії.
Роль прямих у сферичній геометрії грають великі кола, тобто. кола, що виходять у перетині сфери з площинами, що проходять через центр сфери. Через дві не є діаметрально протилежними точки сфери і можна провести єдине велике коло (рис. 1), що цілком відповідає аксіомі планіметрії. Точки і розбивають це велике коло на дві дуги - два сферичні відрізки, менший з яких є найкоротшою лінією на сфері, що з'єднує з . Довжину сферичного відрізка зручно вимірювати величиною кута, під яким видно з центру сфери (рис. 1). Якщо кути вимірювати в радіанах (див. Кут), то на сфері радіуса 1 такий вимір відрізка дорівнює звичайній довжині дуги.
У сферичній геометрії на відміну планіметрії відсутні паралельні сферичні прямі: будь-які два великі кола перетинаються у двох діаметрально протилежних точках сфери (рис. 2). Кут між сферичними прямими - великими колами - визначається як кут між їх площинами, або, що те саме, як кут між дотичними до цих кіл у точці їх перетину (рис. 2).
Якщо провести у сфері три великі кола (рис. 3), то сфера розіб'ється на вісім трикутників. На відміну від планіметрії сума кутів будь-якого сферичного трикутника більша за 180°, або , причому вона не постійна, а залежить від площі трикутника. А саме площа трикутника на сфері радіусу 1 пов'язана із сумою його кутів , і формулою Жірара (А. Жірар - нідерландський математик, 1595-1632):
(кути , ,(7) вимірюються в радіанах).
Для сферичних трикутників справедливі три відомі в планіметрії ознаки рівності: по двох сторонах і кутку між ними, по стороні і двом кутам, що прилягають до неї, по трьох сторонах. На сфері справедлива ще одна ознака рівності трикутників - по трьох кутах. Подібних, але з рівних між собою сферичних трикутників немає. Для сферичних трикутників, однак, залишаються справедливими багато теорем планіметрії, наприклад теореми про перетинання в одній точці серединних перпендикулярів до сторін, бісектрис внутрішніх кутів, медіан і навіть висот, лише з тією різницею, що ці лінії дають відразу по дві діаметрально протилежні точки перетину. Теореми косинусів і синусів у сферичній геометрії набувають дещо незвичайного вигляду: для трикутника з кутами і протилежними сторонами відповідно , і (нагадаємо, що сторони вимірюються як відповідні центральні кути):
(теорема косінусів)
та (теорема синусів).
Сферична геометрія є своєрідний міст між планіметрією і стереометрією, оскільки сферичні багатокутники виходять у перетині сфери з багатогранними кутами з вершинами у центрі сфери, сферичні кола - у перетині сфери з конічними поверхнями тощо. (Рис. 4). Усі теореми про сферичні трикутники можна переформулювати у термінах тригранних кутів; зокрема, дві останні формули часто називають теоремами косінусів та синусів для тригранного кута (рис. 5).
Цікаво, що історично ці теореми передували аналогічним теорем плоскої тригонометрії, оскільки потреба людей у знаннях з астрономії, необхідних для обчислення часу, виникла насамперед.потреб людини, пов'язаних із виміром кутів. Виходячи з геоцентричної гіпотези Всесвіту, давньогрецькі астрономи розглядали Землю як кулю, що знаходиться в центрі небесної сфери, яка рівномірно обертається біля своєї осі. При вивченні закономірностей руху світил виникли численні математичні завдання, пов'язані з властивостями сфери та фігур, що утворюють на ній великі кола.
Автором першого капітального твору про «сферику» - так називали сферичну геометрію стародавні греки - був, мабуть, математик та астроном Євдокс Кнідський (бл. 408-355 р. до н.е.). Але найзначнішим твором була «Сферика» Менелая Олександрійського, грецького вченого, котрий жив у I в., який узагальнив результати своїх попередників і отримав велику кількість нових результатів. Побудовано його книгу аналогічно «Початкам» Евкліда, і довгий час вона служила підручником для астрономів. У ІХ-ХІІІ ст. «Сферика», перекладена арабською мовою, уважно вивчалася математиками Близького та Середнього Сходу, звідки у XII ст., у перекладі арабської, стала відома в Європі.
Сферична геометрія потрібна не лише астрономам, штурманам морських кораблів, літаків, космічних кораблів, які за зірками визначають свої координати, а й будівельникам шахт, метрополітенів, тунелів, а також при геодезичних зйомках великих територій поверхні Землі, коли стає необхідною враховувати її кулю.
Копіювання інформації зі сторінки дозволяється лише із зазначенням посилання на даний сайт