Сферична тригонометрія
Сферична тригонометрія- розділ тригонометрії, в якому вивчаються залежності між величинами кутів та довжинами сторін сферичних трикутників. Застосовується для вирішення різних геодезичних та астрономічних завдань.
Зміст
Основи сферичної тригонометрії були закладені грецьким математиком та астрономом Гіппархом у II столітті до н. е. Важливий внесок у її розвиток зробили такі античні вчені, як Менелай Олександрійський та Клавдій Птолемей. Сферична тригонометрія древніх греків спиралася застосування теореми Менелая до повного четырехстороннику сфері. Давньогрецькі математики викладали умову теореми Менелая не мовою відносин синусів, але мовою відносин хорд. На виконання необхідних розрахунків застосовувалися таблиці хорд, аналогічні наступним таблицям синусів.
Як самостійна дисципліна сферична тригонометрія сформувалася на роботах середньовічних математиків країн ісламу. Найбільший внесок у її розвиток у цю епоху зробили такі вчені, як Сабіт ібн Корра, Ібн Ірак, Куш'яр ібн Лаббан, Абу-л-Вафа, ал-Біруні, Джабір ібн Афлах, ал-Джайяні, Насір ад-Дін ат-Тусі. У їхніх роботах було введено основні тригонометричні функції, сформульовано та доведено сферичну теорему синусів та низку інших теорем, що застосовувалися в астрономічних та геодезичних розрахунках, ведено поняття полярного трикутника, що дозволяло обчислювати сторони сферичного трикутника за трьома його кутами.
Історія сферичної тригонометрії у Європі пов'язані з працями таких вчених, як Регіомонтан, Микола Коперник, Франческо Мавролико.
Позначимо сторони сферичного трикутникаa,b,c, протилежні цим сторонам кути -A,B,C. Сторона сферичного трикутника дорівнює куту між двома променями.що виходять із центру сфери у відповідні кінці сторони трикутника. Для радіанної міри кута:
При використанні кута замість довжини дуги для вимірювання сторін сферичного трикутника спрощуються формули — тоді не входить радіус сфери. Так само роблять, наприклад, у сферичній астрономії, де радіус небесної сфери не має значення.
Теореми для прямокутного сферичного трикутника
Нехай кутC- прямий. Тоді мають місце такі співвідношення:
Теореми для довільного сферичного трикутника
Перша і друга сферичні теореми косінусів двоїсті один до одного. Сферична теорема синусів подвійна по відношенню до самої себе.
Зазначені дві формули також двоїсті один до одного.
Знання формул сферичної тригонометрії необхідне при вирішенні таких завдань, як, наприклад, перетворення координат з однієї системи небесних координат на іншу, розрахунок довготи центрального меридіана планети Сонячної системи, розмітка сонячного годинника і точне направлення супутникової антени («тарілки») на потрібний супутник для прийому супутникового телебачення.