Схема Горнера
У повному обсязі досягти мети 2 нам не вдалося, оскільки практичне вирішення питання про подання багаточлена у вигляді твору впирається, зрештою, завдання знаходження всіх коренів многочлена. Але для многочленів ступеня більше 4 це завдання у загальному вигляді може бути вирішена тільки приблизно, так як формули для обчислення коренів за допомогою коефіцієнтів рівняння, що використовує лише арифметичні операції, включаючи вилучення коренів. У зв'язку з цим особливий інтерес представляють формули, що відносяться до найбільш важливих ситуацій, що часто виникають.
Відповідно до стратегії пріоритетного вивчення екстремальних ситуацій розглянемо завдання поділу на «найпростіший» багаточлен. Як такий многочлен візьмемо многочлен x .
V.13. Схема Горнера
x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + : : : + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 =
= ( x ) x n 1 + b n 2 x n 2 + b n 3 x n 3 + : : : + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 :
Порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях, отримуємо си-
> a n 2 = b n 3 b n 2
при x n 1; при x n 2; при x n 3; )
V.13. Схема Горнера
> a n 2 = b n 3 b n 2
при x n 1; при x n 2; при x n 3; )
Обчислення за рекурентними формулами
називаються обчисленнями за схемою Горнер.
V.14. Результат багаточленів
Коріння багаточленів один із найбільш затребуваних інструментів вирішення завдань, у яких використовуються багаточлени. Як довів Е.Галуа, для багаточленів ступеня 5 і більше немає формули для знаходження коренів. Особливої актуальності набувають інструменти, за допомогою яких вдається вирішувати деякі проблеми, пов'язані з корінням багаточленів, не знаходячи це коріння явно. Прикладом такої проблеми єнаступне завдання.
Завдання 1 . Для двох довільних багаточленів визначити, чи є у них загальне коріння.
Це завдання можна як результат застосування стратегії переходу від вивчення окремого об'єкта до дослідження системи об'єктів .
V.14. Результат багаточленів
Коріння багаточленів один із найбільш затребуваних інструментів вирішення завдань, у яких використовуються багаточлени. Як довів Е.Галуа, для багаточленів ступеня 5 і більше немає формули для знаходження коренів. Особливої актуальності набувають інструменти, за допомогою яких вдається вирішувати деякі проблеми, пов'язані з корінням багаточленів, не знаходячи це коріння явно. Прикладом такої проблеми є таке завдання.
Завдання 1 . Для двох довільних багаточленів визначити, чи є у них загальне коріння.
Ми вирішимо це завдання в ситуації, коли обидва багаточлени над даним полем розкладаються на твір багаточленів першого ступеня.
V.14. Результат багаточленів
Завдання 1 . Для двох довільних багаточленів визначити, чи є у них загальне коріння.
Ідея вирішення цього завдання полягає в тому, щоб ввести функцію від цих багаточленів, яка звертається в нуль тоді і тільки тоді, коли багаточлени мають хоча б один загальний корінь. При цьому функцію визначимо через коріння багаточленів і отримаємо вираз для її завдання через коефіцієнти многочленів.
V.14. Результат багаточленів
Завдання 1 . Для двох довільних багаточленів визначити, чи є у них загальне коріння.
Ідея вирішення цього завдання полягає в тому, щоб ввести функцію від цих багаточленів, яка звертається в нуль тоді і тільки тоді, коли багаточлени мають хоча б один загальний корінь. При цьому функцію визначимо через коріння багаточленів, і отримаємо вираз дляїї завдання через коефіцієнти багаточленів.
Як таку функцію природно взяти твір всіх різниць між корінням першого та другого багаточленів.
V.14. Результат багаточленів
Завдання 1 . Для двох довільних багаточленів визначити, чи є у них загальне коріння.
Як таку функцію природно взяти твір всіх різниць між корінням першого та другого багаточленів. Наприклад, для многочленів (x 1)(x 3)(x + 2) 2 та (x 4)(x 2) такий твір має вигляд:
(1 4)(1 2)(3 4)(3 2)( 2 4)( 2 2)( 2 4)( 2 2)
V.14. Результат багаточленів
Завдання 1 . Для двох довільних багаточленів визначити, чи є у них загальне коріння.
Як таку функцію природно взяти твір всіх різниць між корінням першого та другого багаточленів. Наприклад, для многочленів (x 1)(x 3)(x + 2) 2 та (x 4)(x 2) такий твір має вигляд:
(1 4)(1 2)(3 4)(3 2)( 2 4)( 2 2)( 2 4)( 2 2)
Вираз ( 2 4)( 2 2) у цьому творі повторилося двічі, оскільки 2 є коренем кратності 2. У даному випадку вихідні багаточлени не мають спільних коренів, тому аналізований твір всіх різниць між корінням першого і корінням другого рівнянь відмінно від нуля.
V.14. Результат багаточленів
Завдання 1 . Для двох довільних багаточленів визначити, чи є у них загальне коріння.
Як таку функцію природно взяти твір всіх різниць між корінням першого та другого багаточленів. Інша ситуація виникає, наприклад, для многочленів (x 1) (x 3) (x + 2) 2 та (x 4) (x + 2), для яких
(1 4)(1 2)(3 4)(3 2)( 2 4)( 2 ( 2))( 2 4)( 2 ( 2)) = 0:
V.14. Результат багаточленів
Завдання 1 . Для двох довільних багаточленів визначити, чи є у них спільнікоріння.
Як таку функцію природно взяти твір всіх різниць між корінням першого та другого багаточленів. Інша ситуація виникає, наприклад, для многочленів (x 1) (x 3) (x + 2) 2 та (x 4) (x + 2), для яких
(1 4)(1 2)(3 4)(3 2)( 2 4)( 2 ( 2))( 2 4)( 2 ( 2)) = 0:
Виявилося, що для вираження цього твору через коефіцієнти багаточленів зручніше цей вираз «підправити» множником, як це зроблено в наведеній нижче формулі (7).