Що означає багатогранник - Значення слів
багатогранник у словнику кросвордиста
багатогранник
Тлумачний словник української мови. Д.М. Ушаков
багатогранника, м. (мат.). Геометричне тіло обмежене з усіх боків плоскими прямолінійними гранями (трикутниками, чотирикутниками тощо). Правильний багатогранник. ? Таке ж тіло, обмежене більш ніж чотирма гранями.
Тлумачний словник української мови. С.І.Ожегов, Н.Ю.Шведова.
-а, м. Геометричне тіло, обмежене з усіх боків плоскими багатокутниками.
Новий тлумачно-словотвірний словник української мови, Т. Ф. Єфремова.
Геометричне тіло, обмежене з усіх боків плоскими багатокутниками.
Те, що формою нагадує таке тіло.
Енциклопедичний словник, 1998
геометричне тіло, обмежене з усіх боків плоскими багатокутниками, які називаються гранями. Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а кінці ребер – вершинами багатогранника. За кількістю граней розрізняють чотиригранники, п'ятигранники тощо. Багатогранник називається опуклим, якщо він весь розташований по одну сторону від площини кожної його граней. Випуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані – однакові правильні багатокутники та всі багатогранні кути при вершинах рівні. Існує 5 видів правильних багатогранників: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.
Велика Радянська Енциклопедія
у тривимірному просторі, сукупність кінцевого числа плоских багатокутників, така, що кожна сторона будь-якого багатокутника є одночасно сторона іншого (але тільки одного), званого суміжним з першим (по цій стороні); від будь-якого з багатокутників, що становлять М., можна дійти до будь-якого з них, переходячи досуміжному з ним, а від цього, у свою чергу, ≈ до суміжного з ним, і т. д. Ці багатокутники називаються гранями, їхні сторони ≈ ребрами, а їх вершини ≈ вершинами М. Наведене визначення М. набуває різного змісту залежно від того, як визначити багатокутник . Якщо під багатокутником розуміють плоскі замкнуті ламані (хоча б і самоперетинаються), то приходять до першого визначення М. (питання, пов'язані з такими, що визначаються М., будуть розглянуті в кінці статті). Основна частина статті побудована на основі другого визначення М., при якому його грані є багатокутниками, які розуміються як частини площини, обмежені ламаними. З цього погляду М. є поверхня, складена з багатокутних шматків. Якщо ця поверхня сама себе не перетинає, то вона є повною поверхнею деякого геометричного тіла, яке також називається М.; звідси виникає третя точка зору на М. як на геометричні тіла, причому допускається також існування у цих тіл «дірок», тобто що ці тіла не однозв'язані. М. називається опуклим, якщо він весь лежить з одного боку від площини будь-якої його грані; тоді грані його теж опуклі. Випуклий М. розрізає простір на дві частини - зовнішню та внутрішню. Внутрішня частина є опукле тіло. Назад, якщо поверхня опуклого тіла багатогранна, то відповідний М. опуклий. Найважливіші теореми загальної теорії опуклих М. (що розглядаються як по поверхні) наступні. Теорема Ейлера (1758): число вершин мінус число ребер плюс число граней опуклого М. ≈ ейлерова характеристика М. ≈ дорівнює двом; символічно: в ≈ р + г = 2. Теорема Коші (1812) (у сучасній формі): якщо два опуклі М. ізометричні один одному (тобто один М. може бути взаємно однозначно відображений на інший М. із збереженням довжин лежачих на ньомуліній), то другий М. може бути отриманий з першого його рухом як жорсткого цілого (або рухом і дзеркальним відображенням). Звідси, зокрема, випливає, що й грані опуклого М. жорсткі, він сам жорсткий, хоча його грані були скріплені друг з одним по ребрах шарнірно. Це припускав вірним ще Евклід і знає кожен, хто клеїв картонні моделі М., але довів Коші лише через 2000 років після Евкліда. Теорема А.Д. довжини), тобто якщо розглянути розгортку (викрійку) М., то для того, щоб так склеєну замкнуту поверхню можна було, відповідно розправивши (тобто зігнувши, якщо потрібно, але не розтягуючи, не стискаючи, не розриваючи і більше не склеюючи), перетворити на поверхню опуклого М., необхідно і достатньо, щоб: а) задовольнялася умова Ейлера в ≈ р + г = 2 і б) щоб сума плоских кутів, що сходяться при склеюванні в одній вершині, для будь-якої вершини була меншою 360╟. Ця теорема є теорема існування, тобто вона показує, з якими розгортками існують опуклі М., а теорема Коші є для неї теорема єдиності, тобто вона показує, що існує тільки один (з точністю до руху та відображення) опуклий М. з такою розгорткою. Теорема (існування) Мінковського (1896): існує опуклий М. з будь-якими площами граней і будь-якими напрямами зовнішніх нормалей до них, аби сума векторів, що мають напрями нормалей і довжини, рівні площам відповідних граней, дорівнювала нулю і ці вектори не лежали б все в одній площині. Ці умови необхідні. Теорема (єдиності) Мінковського(1896): опуклий М. цілком визначається площами своїх граней та напрямками зовнішніх нормалей до них; і поглиблююча її теорема (єдиності) А. Д. Александрова: два опуклі М. з попарно паралельними гранями не рівні один одному тільки в тому випадку, якщо для однієї з пар паралельних граней з однаково спрямованими зовнішніми нормалями одна з цих граней може бути за допомогою паралельного перенесення вкладено в іншу. Теорема Штейніца (1917): існує опуклий М. з будь-якою заданою сіткою. При цьому сіткою опуклого М. називають сітку, складену його ребрами. Два М. належать до того самого типу, якщо топологічно тотожні сітки їх ребер, т. е. якщо одне їх відрізняється від іншого лише довжиною своїх ребер і величиною кутів з-поміж них. Сітку ребер опуклого М. можна спроектувати на площину із зовнішньої точки, дуже близької до внутрішньої точки якоїсь його грані. Сама ця грань спроектується тоді у вигляді зовнішнього опуклого багатокутника, а решта у вигляді малих опуклих багатокутників, які його заповнюють, не налягаючи один на одного, і суміжні один з одним цілими сторонами. Тип сітки ребер М. при такому проектуванні не змінюється. Число m типів М. з даним числом n граней обмежене, а саме: якщо n = 4, 5, 6, 7, 8, . то m = 1, 2, 7, 34, 257. Нарис. дано сітки всіх типів для n = 4, 5, 6. Найбільш важливі наступні спеціальні опуклі М. Правильні багатогранники (тіла Платона) - такі опуклі М., усі грані яких суть конгруентні правильні багатокутники. Всі багатогранні кути правильного М. правильні та рівні. Як це випливає вже з підрахунку суми плоских кутів при вершині, опуклих правильних М. не більше п'яти. Вказаним нижче шляхом можна довести, що є саме п'ять правильних М. (це довів Евклід). Вони ≈правильні тетраедр, куб, октаедр, додекаедр та ікосаедр. Куб і октаедр дуальні, т. е. виходять друг з друга, якщо центри тяжкості граней одного прийняти за вершини іншого чи назад. Аналогічно дуальні додекаедр та ікосаедр. Тетраедр дуальний сам собі. Правильний додекаедр виходить із куба побудовою «дахів» з його гранях (спосіб Евкліда), вершинами тетраедра є будь-які чотири вершини куба, попарно не суміжні по ребру. Так виходять з куба всі інші правильні М. У наведеній нижче таблиці вказані радіус описаної сфери, радіус вписаної сфери та обсяг усіх правильних М. (а довжина ребра М.). Ізоедри та ізогони. Ізоедром (ізогоном) називається такий опуклий М., що група його поворотів (першого і другого, тобто з відображеннями, пологів) навколо центру тяжіння переводить будь-яку його грань (вершину) в будь-яку іншу його грань (вершину). Кожному ізоедру (ізогону) відповідає дуальний ізогон (ізоедр). Якщо М. одночасно і изогон і изоэдр, він правильний М. Комбінаторно різних изоэдров (ізогонів) є 13 спеціальних типів і дві нескінченні серії (призми і антипризми). Виявляється, що кожен із цих ізоедрів може бути реалізований так, що всі його грані суть правильні багатокутники. Отримані так М. називають напівправильними багатогранниками (тілами Архімеда). Радіус описаної сфери Радіус вписаної сфери Об'єм Тетраедр═══ Куб═══════════ Октаедр════ Додекаедр Ікосаедр ═ Парал. овим в 1881) ≈ М ., що розглядаються як тіла, паралельним перенесенням яких можна заповнити весь нескінченний простір так, щоб вони не входили один в одного і не залишали порожнеч між собою, тобто утворити розбиття простору. Такими є, наприклад, куб або правильна 6-кутова призма. Топологічно різних сіток реберпаралелоедрів п'ять. Число їх граней ≈ 6, 8, 12, 12, 14. Для того, щоб М. був паралеоедром, необхідно і достатньо, щоб він був опуклим М. одного з п'яти зазначених топологічних типів і щоб усі грані його мали центри симетрії. Якщо паралелоедри розбиття суміжні цілими гранями, розбиття називається нормальним. Центри паралелоедрів такого розбиття утворюють ґрати, тобто сукупність усіх точок із цілими координатами щодо якоїсь, взагалі кажучи, не прямокутної декартової системи координат. Безліч точок простору, з яких кожна віддалена від деякої даної точки Про розглянуті грати L не далі, ніж від будь-якої іншої точки цієї решітки, називається областю Дирихле (або областю Вороного) DoL точки Про в решітці L. Область DoL є опуклим М. з центром у точці О. Сукупність областей Дирихле всіх точок довільних ґрат утворює нормальне розбиття простору. Існує чудова теорема: довільне (навіть n-мірне) нормальне розбиття на паралелоедри, у кожній з вершин якого сходиться n + 1 паралелоедр, може бути афінним перетворенням перетворено на розбиття Діріхле для деякої ґрат. Будь-який рух, що переводить в себе грати L і залишає на місці її точку О, перетворює в себе область DoL і назад. Групу всіх таких рухів називають голоедрією ґрат. Їх всього сім: кубічна, ромбоедрична, квадратна (або тетрагональна), ортогональна (або ромбічна), моноклінна, триклінна та гексагональна. Кристалографічні багатогранники. Кожна з семи розглянутих груп має підгрупи, всіх різних таких груп та їх підгруп 32; їх називають кристалографічними класами. Нехай якийсь кристалографічний клас є підгрупою деякої голоедрії, тоді кажуть, що він належить ційголоедрії (чи входить до складу її сингонії), якщо цей клас не є підгрупою ніякої голоедрії, що міститься в цій. Якщо взяти площину, що не проходить через точку О, і піддати її всім поворотам якогось кристалографічного класу, то отримані площини обмежують або деякий ізоедр з центром у точці, або нескінченне опукле призматичне тіло, або багатогранний кут. Отримані тіла називаються простими формами кристалів, у першому випадку замкнутими, у другому та третьому - відкритими. Дві прості форми вважають однаковими, якщо вони мають один і той же комбінаторний тип, породжені одним і тим самим кристалографічним класом і повороти цього класу однаково пов'язані з формою. Існує 30 різних у цьому сенсі замкнутих форм та 17 відкритих, кожна з них має цілком певну назву (див. Кристали). Грунтуючись на першому (вказаному на початку статті) визначенні М., можна вказати ще чотири правильні невипуклі багатогранники (т. зв. тіла Пуансо), вперше знайдених французьким математиком Л. Пуансо в 1809. Доказ неіснування інших невипуклих правильних М. дав французький математик Коші в 181
У цих М. або грані перетинають один одного, або самі грані - багатокутники, що самоперетинаються. Для вивчення питань, пов'язаних із площами поверхонь та обсягами таких М., зручно користуватися саме першим визначенням М.
Якщо в М. можна так орієнтувати грані, щоб кожне ребро в тих двох гранях, які суміжні по цьому ребру, мало б зворотні напрямки, то його називають орієнтованим, інакше неорієнтованим. Для орієнтованого М. (навіть якщо він самоперетинається і його межі - багатокутники, що самоперетинаються) можна ввести поняття площі поверхні і величини об'єму. Площеюорієнтованого М. називають просто суму площ його граней (про визначення площі багатокутника, що самоперетинається, див. багатокутник ). Для визначення обсягу слід зазначити, що сукупність внутрішніх шматків граней М. розрізає простір на певне число зв'язкових шматків, у тому числі один стосовно М. нескінченний (зовнішній), інші кінцеві (внутрішні). Якщо із зовнішньої стосовно М. точки провести відрізок у якусь внутрішню точку внутрішнього шматка, то суму «коефіцієнтів» тих внутрішніх шматків граней М., які перетне цей відрізок, називають коефіцієнтом внутрішнього шматка М., що розглядається (вона не залежить від вибору зовнішньої точки О); такий коефіцієнт є цілим позитивним, негативним числом або нулем. Суму звичайних обсягів всіх внутрішніх шматків М., помножених ці їх коефіцієнти, називають обсягом М. .
Можна розглядати і n-вимірні М. Деякі із зазначених визначень і теорем мають n-вимірне узагальнення. Зокрема, знайдено всі опуклі правильні М.; при n = 4 їх виявилося 6, а за всіх великих n всього три: узагальнення тетраедра, куба та октаедра. У той же час, наприклад, невідомі всі чотиривимірні ізоедри та ізогони.
Приклади невирішених завдань теорії багатогранників.
1) Німецький математик Еге. Штейніц дав приклади те, що ні всякого топологічного типу сітки ребер опуклого М. існує М., який можна описати навколо кулі; у загальному вигляді завдання не вирішено.
2) Паралелоедри є опуклі основні області груп паралельних переносів, але досі не визначені основні типи стереоедрів, тобто опуклих основних областей довільних (федорівських) дискретних груп рухів. 3) Визначення всіх типів чотиривимірних ізоедрів.
Федоров Є. С., Початки вчення про фігури, СПБ, 1885; ОлександровА. Д., Випуклі багатогранники, М. ≈ Л., 1950; Вороний Р. Ф., Зібр. соч., т. 2, До., 1952; Brückner М., Vielecke та Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900; Steinitz E., Vorlesungen liber die Theorie der Polyeder unter Einschiuss der Elemente der Topologie. B., 1934; Coxeter H. S. М., Regular polytopes, 2 ed., L. N. Y., 1963.