шпоргалка-матриці
Матрицею називається таблиця чисел, що складається з m рядків і n стовпців матриця записується у вигляді
Матриці рівні між собою якщо рівні їх відповідні елементи А = Якщо аij = bij де аij bij-елементи матриць
Матриця у якої число рядків дорівнює числу стовпців називається квадратною
Квадратна матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю, крім головної діаконалі, називається діагональною.
Діагональна матриця у якої всі елементи рівні одиницям називається одиничною
Квадратна матриця називається трикутною якщо всі елементи розташовані по один бік діаконалі дорівнюють нулю
Матриця всі елементи якої дорівнюють нулю називається нульовою
Матриця містить один стовпець або рядок називається вектор стовпцем вектор рядком
Матриця, отримана заміною рядків стовпцями, називається транспонованою матрицею.
Дії над матрицями
Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакових розмірів
Сумою двох матриць А і B називається матриця С, у якої елементи cij=aij+bij Анологічно визначається різниця матриць
Добуток матриці на число називається матриця У якої елементи bij=k*aij
Матриця-А=(-1)А називається протилежною матриці А.Різність матриць А-Можна визначити як А-В=А+(-В)
Операція множення двох матриць вводиться лише тоді, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці m*n помножити на n*p і матриці m*p.
Множення виробляється наступним чином елементи iого рядка і kго стовпця матриці твору матриці С дорівнює сумі творів елементів iй рядка матриці А на відповідні елементи kго стовпця матриці В
Операції складання та множення матриць мають наступні властивості:
Елементарні перетворення матриць
Перестановка місцями двох паралельних рядів матриці
Умноження всіх елементів ряду матриці на число відмінне від нуля
Додатком до всіх елементів ряду матриці відповідних елементів парралельного рада помножених на те саме число
Еквівалентними називаються матриці отримані за допомогою елементарних перетворень однієї в іншу
Опрерація множення матриць проводиться тоді і тільки тоді, коли число стовпців однієї матриці дорівнює числу рядків матриці інший m*n множиться на n*p і виходить m*p
Добутком матриці А на матрицю В називається матриця С у якої елемент i-рядка і k-стовпця дорівнює сумі творів елементів i-рядка матриці А на відповідні елементи k-стовпця матриці В
Матриці А і В називають перестановними якщо АВ = ВА
Властивості множення матриць
Св-во 1: Визначник матриці не зміниться при транспонуванні матриці
Св-во2: При перестановці двох паралельних рядів визначник змінює знак на протилежний
Св-во 3: Визначник має два однакові ряди дорівнює нулю
Св-во 4: Загальний множник елементів якогось ряду визначника можна винести за знак визначника
Св-во 5: Якщо елементи якогось ряду визначника являють собою суми двох доданків, то визначник може бути розкладений на суму двох відповідних визначників
Св-во 6: Визначник не зміниться якщо до елементів одного ряду додати відповідні елементи паралельного ряду, помножені на будь-яке число
Теорема: визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку визначниківперемножуваних матриць det(A*B)=detA*detB
Мінором деякого елемента aij визначника n-го порядку називається визначник n-1го порядку, отриманий з вихідного шляхом викреслення рядка та стовпця, на перетині яких знаходиться обраний елемент
Алгебраїчним доповненням елемента aij визначника називається його мінор взятий зі знаком плюс якщо сума i+j парне число і зі знаком мінус якщо ця сума непарна.
Св-во 7: Визначник дорівнює сумі творів елементів деякого ряду на їх алгебраїчне доповнення
Св-во 8: Сума творів елементів якогось ряду визначника на додаток алгебри відповідних елементів парралельного ряду дорівнює нулю а11А21+а12А22+а13А23=0
Невироджена матриця у якої визначник відмінний від нуля
Вироджена матриця матриця у якої визначник дорівнює нулю
Рангом матриці називається найбільший з порядків мінорів відмінних від нуля, Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць, що стоять на її діагоналі, Ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків матриці А.
При транспонуванні матриці її ранг не змінюється
Якщо викреслити з матриці нульовий стовпець, то ранг матриці не зміниться
Ранг матриці не зміниться при елементарних перетвореннях
Еквівалентними матрицями називаються матриці, коли одна матриця отримана з іншої за допомогою елементарних перетворень матриці не є рівними, але їх ранги рівні
Теорема:Для того, щоб матриця А мала зворотну необхідно і достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля
За визначником зворотної матриці А мінус першого ступеня = В; АВ = ВА = Е слід
А та А в мінус першого ступеня перестановочні квадратніматриці цього порядку за теоремою про твори зворотних матриць маємо, що detA*detA мінус першого ступеня=det(A*A мінус першого ступеня)=detE=1=detA*detA мінус першого ступеня з цього випливає, що жоден визначник не може бути нульовим, якщо матриця має зворотну матрицю
Системи лінійних рівнянь
Сукупність n чисел C1,C2,Cn називається рішенням системи рівнянь, якщо кожне рівняння системи звертається у вірну тотожність (ліва частина дорівнює правою після підстановки n замість Х)
Система рівнянь називається спільною, якщо вона має одне або безліч рішень, система є не спільною, якщо вона не має рішення
Якщо система має безліч рішень, то кожне рішення називається приватним, а безліч усіх приватних – це загальне рішення системи.
Еквівалентними системами називаються такі системи, у яких рішення однієї системи є рішенням для іншої та навпаки, всі несумісні системи є еквівалентними
Теорема: Крамерасистема з m рівнянь і n невідомих у разі, коли визначник цієї системи відмінний від нуля має рішення і тільки одне це рішення знаходиться за формулами Х=deti/det для всіх i
де det-визначник системи
deti-визначник матриці отриманою заміною i-го стовпця стовпцем вільних членів.
Якщо визначник відмінний від нуля, це достатньо для того, щоб матриця мала зворотну А мінус першого ступеня
АХ = В; Х = В/А; Х=В*А-1ступеня, підставимо у перше ур-е отримаємо А*В*Ав –1степени=В А*А мінус першої
ступеня одинична матриця, отже, ЕВ=В; В=В
Припустимо, що матриця А має безліч рішень (Х1, Х2, Хn) то АХ2=Ви АХ1=В отже АХ2=АХ1
Помножимо обидві частини на зворотну матрицю А отримаємоЕХ2=ЕХ1 отже, Х1=Х2 тобто. запис (Х1Х2Хn) немає сенсу і всі ікси рівні. Формула Крамера хід: записати Х=А мінус першої *В де В вектор стовпець вільних членів А мінус першої зворотна до А запишемо зворотна матриця дорівнює одиниці діленої на визначник матриці А помножене на союзну матрицю,...
Базовим мінором називається мінор відмінний від нуля r-го порядку, де r ранг матриці.
Теорема про базисний мінор:
Кожен стовпець матриці є лінійна комбінація її базових стовпців самі базові стовпці лінійно незалежні (правильно для рядків).
Позначимо аik елементи матриці (k 1, m рядків, j = 1, n стовпців) нехай С1С2Сn стовпці матриці нехай базисний мінор знаходиться в стовпці (Cj1, Cj2, Cjr) і в рядках з номерами k1, ... kr. Довести, що для будь-якого стовпця існує числа L1,…,Lr такі, що стовпець є лінійною комбінацією стовпців Cj=L1Cj1+,…+LrCjr (1)
Для елементів матриці А з урахуванням властивостей матриці рівняння (1) має вигляд (1)
Калькулятор
Сервіс безкоштовної оцінки вартості роботи
- Заповніть заявку. Фахівці розрахують вартість вашої роботи
- Розрахунок вартості прийде на пошту та по СМС
Номер вашої заявки
Зараз на пошту прийде автоматичний лист-підтвердження з інформацією про заявку.