Сідловафункція - Велика Енциклопедія Нафти та Газа, стаття, сторінка 1
Сідлова функція
Сідлова функція цілком замкнута тоді й лише тоді, коли вона одночасно замкнута знизу та зверху. [1]
Сідлові функції - це функції, що є опуклими за одними і увігнутими за іншими змінними, і пов'язані з ними екстремальні завдання - це завдання на мінімакс, а не просто завдання на мінімум чи максимум. Теорію таких мінімаксних завдань можна дуже далеко просунути, дотримуючись того ж шляху, що й у разі завдання мінімізації опуклих функцій. Виявляється, що загальна мінімаксна задача для (регулярної в деякому належному сенсі) сідлової функції є в точності лагранжева задача про сідлову точку, пов'язана з деякою узагальненою (замкнутою) опуклою програмою. [2]
Теорія сідлових функцій ґрунтується на дивовижному зв'язку, що існує між сідловими функціями та опуклими біфункціями. [3]
Поняття сполученої сідлової функції виводиться з властивостей операції звернення для опуклих біфункцій, розглянутої попередньому параграфі. Таким чином, операція звернення виявляється природною основою для теорії мінімаксу в такій же мірі, як операція сполучення випуклих біфункцій була основою для теорії двоїстості опуклих програм. [4]
Результати щодо сідлових функцій , що доводяться в § 35 ( Безперервність та диференційність сідлових функцій), в основному є аналогами або узагальненнями результатів, отриманих у § 10, 24 та 25 для опуклих функцій, і надалі не використовуються. [5]
Будь-яку сідлову функцію / С, еквівалентну нижній і верхній сполученим даної сідлової функції К, ми просто називатимемо пов'язаною з К - Таким чином, слідство 37.1.1 містить опис перетворення сполучення для сідлових функцій,симетричне та взаємно однозначне з точністю до еквівалентності. Постійні сідлові функції і - замкнуті і пов'язані один з одним. Оскільки немає відмінних них замкнутих невласних сідлових функцій, сідлова функція, пов'язані з замкнутої своєї сідловий функцією, мусить бути своєї. [6]
Наслідок 34.2.2. Сідлова функція замкнута знизу або зверху (або цілком замкнута) замкнута. [7]
Теоретично сідлових функцій (як і теорії опуклих чи увігнутих функцій) зручно розглядати функції, всюди певні, але приймають, можливо, нескінченні значення. Однак у цьому випадку, принаймні з першого погляду, ситуація не така проста і ясна. [8]
Відповідність між сідловими функціями, встановлена в теоремі 37.1, можна розглядати як узагальнення операції сполучення для опуклих або увігнутих функцій. [9]
Мінімаксні завдання для сідлових функцій на Dlm x HI насправді пов'язані не так з конкретними функціями, як із класами еквівалентних сідлових функцій. [10]
Нехай / С - замкнута сідлова функція на lRm X 1R і L - сідлова функція, еквівалентна / С. [11]
Вони формулюються в термідвоїстості відповідних сідлових функцій та операції для біфункцій. [12]
Аналогічне твердження правильне для увігнуто-замкнених сідлових функцій і замкнутих в образах увігнутих біфункцій. У разі поліедральної опуклості зв'язок між сідловими функціями та біфункціями стає дещо простіше. [13]
Теорема 34.1. Якщо К - сідлова функція на Ш х Я1П, її нижнє замикання є замкнута знизу сідлова функція, а верхнє замикання - замкнута зверху сідлова функція. [14]
К - Ясно, що сідлова функція, еквівалентна замкнутої, сама замкнута. [15]