СІМ ВЕЛИКИХ РОЗПОДІЛІВ ІМОВІРНОСТЕЙ

// Електрика. - 2008. - № 2. - С. 45-47.

Б.А. Трубніков, О.Б. Трубнікова

Інститут ядерного синтезу РНЦ "Курчатівський інститут"

Інститут біології розвитку ім. Н. К. Кольцова РАН

Показано, що всі сім фундаментальних природних розподілів частинок: 1) Фермі-Дірака (ФД); 2) Бозе-Ейнштейна (БЕ); 3) Планка (Пл); 4) Блоха (Бл для фононів); 5) Максвелла-Больцмана (МБ); 6) Гаусса (Га) і 7) розподіл конкурентів – виходять лише з двох літер (m,n) одноманітним комбінаторним методом і прийомом Лагранжа з вимогою максимуму ентропії за двох додаткових умов, та їх спектри містять лише по два параметри. Це однаковість і спільність дозволяють вважати розподіл конкурентів так само добре обгрунтованим у математичному сенсі, як та інші шість класичних фізичних розподілів.

1. Нагадаємо основні положення статистичної фізики та спочатку розглянемо шість фізичних розподілів. Пару чисел N,Kназиватимемо "малим набором". Як відомо,Nферміонів можна розмістити поодинці по K & gt; N станом числом способів, що дорівнює біноміальному коефіцієнту . Для бозонів маємо. Для частинок Максвелла - Больцмана (максвеллонів) приK>> N можна приблизно покласти, і тоді; а для фононів Блоха приN>>Kнаближено маємо , і тоді. Вважаючи всі числа більшими і використовуючи формулу Стірлінга, а також вводячи середнє число частинок n = N / K в одному стані, запишемо числа способів як , де функціїfi= fi ( n ) рівні відповідно:

(1)

Число С i називають статистичним вагою стану, яке логарифмS= lnC i =Klnfiназивають ентропією.І рівновага досягається тоді, коли числа Сiмаксимальні, отже – максимальна і ентропія S .

2. Далі вважаємо, що повна множина (система) складається з незалежних "малих наборів", і тоді стат-вага системи дорівнює добутку стат-ваг всіх малих наборів. На цьому етапі малим наборам слід присвоїти індекс m, замінюючи. Тоді повна ентропія запишеться як сума ентропій малих наборів

S= . (2)

Вимога її максимуму має виконуватися за двох додаткових умов: коли вважаються заданими сумарна енергія системи та повне число частинок. Для цього за методом Лагранжа складаємо комбінацію, і рівняння дають співвідношення. Неважко перевірити, що підставляючи сюди функції (1), отримаємо відповідні розподіли

. (3)

Розподіл Гауса (п'яте) можна отримати з одновимірного газу Максвелла – Больцмана, а шостий розподіл фотонів – з розподілу Бозе – Ейнштейна при нульовому хімпотенціалі (β = 0).

Отже, ми отримали всі шість фізичних розподілів, аналізуючи спочатку малі набори з парою чисел (N,K), приписавши індекс m середньому числу і потім розглянувши "великий набір" із сумарною ентропією.

3. Щоб отримати розподіл конкурентів, слід вибрати зворотний шлях. Спочатку вводимо "великий набір", для якого статистична вага (кількість можливих способів розміщення безлічі об'єктів за групами) приймається рівним

, , В = , Г = . (4)

Користуючись формулою Стірлінга, отримаємо твори

Б = , В = , Г = , де б = , , , (5)

дее- основа натуральних логарифмів. Тоді число способів С запишеться як

де . (5)

Так що стат-вага "великого набору" дорівнюєтвору стат-ваг "малих наборів", як це має місце і в шести фізичних множинах. І, за аналогією з ними, його логарифм

, де (6)

назвемо ентропією населення великого набору конкурентів, аSm- ентропією населення малого набору конкурентів. Замість словаконкурентможна було б вжити термінреципієнт- одержувач частки деякого "ресурсу". Далі за методом Лагранжа складаємо комбінацію та рівняння. У разі ресурсу це дає диференціальний та інтегральний спектри конкурентів:

, . (7)

У межі отримаємо наближену формулу, яку називають "законом Парето-Ципфа-Кудріна" (Б. І. Кудрін - творець науки технетики про техноценоз). Вона має величезну кількість застосувань (див. [1–3], але розходиться в області малих значень m , так що облік обрізної експоненти в спектрах (7) в принципі необхідний завжди. їх зростання, вперше отримане О. Б. Трубнікової та зображене на малюнку.

1. Трубніков Б. А., Трубнікова О. Б. П'ять великих розподілів ймовірностей// Природа. 2004. № 11. З . 13.

2. Trubnikov B. A., Trubnikova O. B. Theory of Competition//Book of abstracts of 13 th Gen. Conf. of the Eur. Phys. Soc. EPS-13 Bern, Switzerland, 11–15 July 2005. Invited report BR6-4-THU. Р.119.

3. Річард Кох. Принцип 80/20/Пер. з англ. Каштан. Мінськ: Вид-во "Попурі", 2004.