Симплектична група - Фізична енциклопедія
СИМПЛЕКТИЧНА ГРУПА (від латів. simplex - простий) - група лінійних перетворень кінцевомірного векторного простору (речовинного або комплексного), що зберігають кососкалярне п о і з в е д е н ня, тобто невироджену кососиметрію (у фіз. додатках найчастіше вживається термін «антисиметрична») білінійну форму. Простір, з кососкалярним твором, зв. с і м п л е к т і ч е с к і м. Роль С. г. у симплектич. просторі аналогічна ролі ортогональної групи в евклідовому просторі.
приклади. 1) Кососкалярний добуток на площині з координатами р, q - це форма площі. Парі векторів вона зіставляє орієнтовану площу натягнутого на них паралелограма та змінює знак при перестановці векторів. Напр., кососкалярний добуток пари векторів з декартовими координатами і1, u2 та w1, w2 можна записати у вигляді: . С. г. площини ізоморфна групі 2x2 - матриць з визначником 1.
2) Пряма сума га симплектич. площин несе кососкалярний добуток , що відноситься до пари векторів суму площ проекцій на координатні площини натягнутого на ці вектори паралелограма. С. г. міститься в групі лінійних перетворень, що зберігають обсяг
3) Уявна частина невиродженої ермітової форми в n-вимірному комплексному просторі, що розглядається як 2n-вимірне речовинне, є кососкалярним твором. У координатах ермітова форма має уявну частину -. містить унітарну групу - групу комплексних лінійних перетворень, що зберігають цю ермітову форму. Унітарна група - максимальна компактна підгрупа С. р.
Вивчення симплектич. простору спрощується завдяки теоремі Дарбу - Фробеніуса, відповідно до якої симплектич. простір чотиривимірний, а два такіпростори однієї розмірності симплектично ізоморфні.
Косоортогональність. Два вектори зв. косоортогональні, якщо їх кососкалярний твір - нуль. Вектор, косоортогональний всьому простору, - нульовий. У цьому полягає визначення невиродженого кососкалярного твору. Кожен вектор собі косоортогональний (наслідок кососиметричності). Косоортогональне доповнення прямої - гіперплощина, що містить цю пряму. Назад, Косоортогональне доповнення гіперплощини – пряма у ній. Взагалі Косоортогональне доповнення підпростору має доповнити. розмірність. Два підпростори однакової розмірності перекладаються одна в одну перетворенням з С. р., якщо і тільки якщо збігаються розмірності їх перетинів зі своїми косоортогональних доповненнями. Зокрема, будь-яка пряма (гіперплощина) переводиться в будь-яку іншу. Т. о., геометрія симплектіч. простору багато в чому визначається структурою С. р.
С. р. 2n-вимірного симплектич. простору - це проста зв'язкова група Лі, що позначається [у комплексному випадку]. Її розмірність (2n+1)n. Чи алгебра цієї групи ізоморфна алгебри Чи однорідних багаточленів ступеня 2 від змінних (p1, . рп, q1, . qn) з Пуассона дужкою як комутатор:
З цієї причини вивчення С. р. рівносильне до деякого ступеня вивченню лінійних гамільтонових систем диференціальних ур-ній. А. Б. Гівенталь.