Симплектична група
Одна з класичних груп, яка визначається як група автоморфізмів знакозмінної білінійної форми Ф на лівому К-модулі Е, де К - комутативне кільце. У разі коли Е=К 2т і матриця форми Ф канонич. базисі модуля має вигляд де I т - одинична матриця порядку т, відповідна С. р. називається С. р. від 2т змінних над кільцем Кі позначається Sp(m, К).або Sp2m(K). Матриця будь-якого автоморфізму з Sp2m(K) у базисі зв. симплектичною матрицею. Нехай К - поле і Ф - невироджена знакозмінна білінійна форма в n-мірному векторному просторі Енад К. Тоді почімко, асоційована з формою ФС. де. Лінійні перетворення виду se, a зв. симплектичними трансвекціями, або зсувами, у напрямі прямої Ке. Центр Z групи Sр n(K) складається з матриць In і - In, якщо char; якщо ж char K = 2, то . Факторгрупа Spn(K)/Z зв. проективною симплектичною групою та позначається РSр n(K). Всі проективні С. р. прості за винятком к-рі ізоморфні відповідно симетричні. групам S3 і S6 і знакозмінній групі A4 (через Fq позначено поле з елементів). Порядок С. г. Sp2m (Fq).рівний С. г. Sр 2(K) збігається зі спеціальною лінійною групою SL2 (К);якщо char , то група PSp4 (К).ізоморфна факторгрупі групи W5(K, f) її центру (де W5(K, f) - комутант ортогональної групи симетричної білінійної форми f від п'яти змінних індексу 2). За винятком випадку т = 2, char K = 2, всякий автоморфізм j групи Sp2m (К). елемент поля К). С. г. Sр 2m (К).збігається з групою K-точок лінійної алгебраїч. групи Sp2m,задається рівнянням. Ця алгебраїч. група, також звана С. р., є простою однозв'язною лінійною алгебраїч. групою типу m, її розмірність дорівнює 2т 2+т. У випадку, коли або , С. г. Sp2m (К).є зв'язна однозв'язкова проста комплексна (відповідно речова) група Лі. Група є однією з речових форм комплексної С. р. Інші речові форми цієї групи теж іноді називають С. р. Це - підгрупи, що виділяються з групи умовою збереження ермітової форми виду де ei = 1 при і ei = -1 при інших i. Група Sp (0, т) - компактна речовинна форма комплексної С. р. С. г. Sp(p, q).ізоморфна групі всіх лінійних перетворень правого векторного простору над тілом кватерніонів розмірності т=р+q, які зберігають кватерніонну ермітову форму індексу min(p, q), тобто форму виду де а Характеристика означає перехід до сполученого кватерніону. Aptin Е., Геометрична алгебра, пров. з англ., М., 1969; [2] Бурбакі Н., Алгебра. Модулі, кільця, форми, пров. з франц., М., 1966; [3] Дьєдонне Ж., Геометрія класичних груп, пров. з франц., М., 1974; [4] Xелгасон С., Диференціальна геометрія та симетричні простори, пров. з англ., М., 1964; [5] Шевалле До., Теорія груп Лі, пров. з англ., т. 1, М., 1948. Ст Л. Попов.