Сингулярне рівняння - Технічний словник Том V
Сингулярне рівняння (2.5.15) спільно з системами (2.5.13) та (2.5.14) є основними рівняннями задачі, що дозволяють визначити функцію g ( x) та коефіцієнти a2fr 2 02k 2 - Знаючи функції Ф2 ( г), % ( z ) та g (x), можна знайти напружений стан перфорованої пластини. Сингулярні рівняння ( 49 3) і ( 49 4) зазвичай називають відповідно рівняннями другого і першого роду ( і ми теж іноді будемо. Фредгольма: рівняння ( 49 4), як ми побачимо надалі. Причина цього зводиться, загалом Сингулярне рівняння (1.9.3) може бути наведено різними способами до еквівалентного рівняння Фредгольма. Методом сингулярних рівнянь у роботі [50] для гармонійних коливань середовища досліджуються наступні чотири основних граничних завдання термопружності: задані 1) переміщення та температура; 2) напруги та потік тепла; 3) переміщення та потік тепла; 4) напруги та температура. З допомогою побудованих у роботі фундаментальних рішень отримано сингулярні інтегральні рівняння відповідних завдань, й у цих рівнянь доведено альтернативи Фредгольма. Для внутрішніх завдань термопружності визначено спектр власних частот оператора завдання та встановлені теореми єдиності. Для зовнішніх завдань доведена їхня розв'язність, коли переміщення, температура та їх перші похідні мають заданий порядок убування на нескінченності. Серед сингулярних рівнянь можна, проте, виділити один клас рівнянь, котрим справедливі всі без винятку твердження, які у пропозиціях I-IV. Це ті сингулярні рівняння, індекс яких дорівнює нулю. Серед сингулярних рівнянь можна, однак, виділити один клас рівнянь, для яких справедливі всі без винятку твердження, що містяться впропозиціях I - IV. Рішення вказаного сингулярного рівняння може бути представлене невласним інтегралом типу Коші від правої частини рівняння. Нетер розглядає сингулярне рівняння, подане у вигляді, зазначеному в зауваженні 3 в кінці § 44, але його міркування можуть бути перенесені без будь-яких принципових змін на випадок, що розглядається тут. Рішення цього сингулярного рівняння ( обмежене в точках at) має вигляд (див. § 3 гл. З усіх сингулярних рівнянь, що мають даний індекс z /, найменша кількість рішень мають характерні. З усіх сингулярних рівнянь, Рішення цього сингулярного рівняння (обмежене в точках ал) має вигляд (див. § 3 гл. Для регуляризації сингулярного рівняння (23.21) застосуємо метод Карлемана. Метод дослідження сингулярного рівняння, викладений в § 55, заснований на теоремі еквівалентності І. Н. Векуа, може бути також узагальнений на систему сингулярних рівнянь, це зроблено в цікавій статті Н. П. Векуа [2], до якої ми і відсилаємо читача Слід особливо відзначити, що приведення системи сингулярних рівнянь до еквівалентної системи рівнянь Фредгольма здійснюється при цьому без фактичного розв'язання відповідного завдання сполучення, що робить цей спосіб регуляризації ефективним. .Н. Векуа, може бути також узагальнений на систему сингулярних рівнянь. Це зроблено в цікавій статті Н. П. Векуа [2], до якої ми й надсилаємо читача. Слід зазначити, що приведення системи сингулярних рівнянь до еквівалентної системи рівнянь Фредгольма здійснюється при цьому без фактичного рішення відповідноїзавдання поєднання, що робить цей спосіб регуляризації ефективним.
У разі одного сингулярного рівняння (§ 45), якщо МК-фредголь-мов оператор, то і КМ має цю властивість; у нашому випадку (коли ми маємо справу фактично з системами рівнянь), це, як ми вже сказали, не завжди має місце; тому можна розрізняти оператори, що регулюють цей оператор зліва і справа. Про один клас сингулярних рівнянь, Докл. У разі одного сингулярного рівняння (§ 45), якщо МК - фредгольмів оператор, то і КМ має цю властивість; у нашому випадку як (коли ми маємо справу фактично з системами рівнянь), це, не завжди має місце; тому можна розрізняти оператори, регуляризиршкше даний оператор зліва і справа. Багато питань теорії сингулярних рівнянь з ядром доші ре-щаються за допомогою виділення з повного сингулярного оператора його характеристичної частини. Рівняння (3.1) називається повним сингулярним рівнянням. Рівняння (1.9.3) називають повним сингулярним рівнянням. Якщо f (i) не нуль, маємо неоднорідне рівняння, інакше - однорідне. Рівняння (3.1) називається повним сингулярним рівнянням. Кількість лінійно незалежних рішень сингулярних рівнянь - звичайно. Безпосереднє ж повне дослідження сингулярного рівняння Д. І. Шермана дано Г. Ф. Манджавідзе [2] за допомогою ним розробленої загальної теорії, згаданої вище. Детальний виклад цього дослідження дано в гол. Кількість лінійно незалежних рішень сингулярних рівнянь - звичайно. Про один випадок регулювання сингулярних рівнянь, Прикл. Про один випадок регулювання сингулярних рівнянь, Прикл. Еквівалентно-регулювальний оператор для системи сингулярних рівнянь, Докл. Про один випадок регулювання сингулярних рівнянь, Прикл. Рівняння (5.6) також є сингулярними рівняннями з розривними ядрами та розривним коефіцієнтом при позаінтегральному члені. Дослідження умов розв'язності рівнянь класу (5.6) також відсутні. Наприклад, нескладно реалізація в тій чи іншій формі методу механічних квадратур.
Вище було показано, що сингулярні рівняння завжди можна звести до еквівалентних регулярних рівнянь і ледве. Однак сама побудова рівняння є дуже громіздкою процедурою, у зв'язку з чим доцільно будувати рішення безпосередньо. Теоретичні дослідження [14 – 16, 37, 107] забезпечують математичну обґрунтованість таких підходів. Як правило, йдеться про те чи інше узагальнення методів, розвинених у теорії регулярних рівнянь. Таким чином, ми отримаємо сингулярне рівняння того ж виду, що вихідне, але шляхом інтегрування є вже А. Велике значення для додатків мають сингулярні рівняння першого роду; Рівняння Фредгольма першого роду в цьому плані значно менш цікаві, і ми ними не займатимемося. Зауважимо, що для сингулярного рівняння з інтегруванням по півосі виявилося можливим отримати точні рішення, то кінцевих проміжків інтегрування цього зробити, взагалі кажучи, не можна. Тому зусилля теоретиків зводилися до отримання з основного рівняння деяких інших або таких, які легше вирішувати, або дають безпосередньо потрібні для додатків величини. Тому у нашому викладі теорія сингулярних рівнянь тісно пов'язана із зазначеним граничним завданням. Про один випадок у теорії сингулярних рівнянь, Докл. Тому у нашому викладі теорія сингулярних рівнянь тісно пов'язана із зазначеним граничним завданням. Про один випадок у теорії сингулярних рівнянь, Докл. Оскільки за X 0в сингулярному рівнянні (3.68) зникає параметр, що визначає явну залежність його рішення від часу, то рівняння (3.68) і (3.69) мають, як це було показано [193], автомодельне рішення. Ряд питань (розгалуження рішень, сингулярні рівняння та ін.) торкнуться зовсім швидко, оскільки ґрунтовне трактування їх зажадало б окремої книги. Іноді, замість загальної постановки завдання, розглядаються прості випадки, в яких чітко проступають принципові сторони питання. Тому ці рівняння відносяться до класу сингулярних рівнянь, для яких справедлива теорія Фредгольма при значеннях параметра інтегрального рівняння, що належать площині IT (див. гл. Зазначимо один новий спосіб регуляризації системи сингулярних рівнянь, вказаний Д. І. Шерман [ 7], [9], які докладемо і до деяких систем, що не належать до нормального типу. один новий спосіб регуляризації системи сингулярних рівнянь, вказаний Д.І. сказано у вступі, ми і будемо займатися в цій книзі), дуже істотне значення має вирішення однієї граничної задачі, яку ми називаємо (лінійним) завданням сполучення. глави.
Для прийнятої нами системи викладу теорії лінійних сингулярних рівнянь, що містять інтеграли типу Коші (тільки такими рівняннями, як було сказано у вступі, ми і будемо займатися в ційкнизі), дуже важливе значення має рішення однієї граничної задачі, яку ми називаємо завданням лінійного сполучення. Вирішенню цієї задачі, за певних приватних припущень, які будуть узагальнені в розділі IV, присвячений відділ I цього розділу. Зрозуміло, що будь-який метод чисельного розв'язання сингулярних рівнянь повинен спиратися на ті чи інші спеціальні квадратурні формули. Тоді, обчислюючи інтеграл у тій чи іншій основній точці, прийдемо до інтегральної суми, в якій треба опустити доданок, що відповідає відрізку, якому належить вихідна основна точка. Вкажемо також один прийом, що дозволяє безпосередньо переходити до невласних інтегралів. Сказане без будь-яких змін переноситься на системи сингулярних рівнянь з ядрами Коші, якщо сингулярні інтеграли, що містяться в системі, беруться по замкнутому контуру.