Скелетне розкладання матриці

Скелетне розкладання матриціAпорядкуm×nі рангуr- це уявлення матриціAу вигляді добутку двох матрицьBіC, деB-m×r-матрицяC- r×n- матриця та rank(B)=r, rank(C)=r.

НехайA m×nматриця довільного рангуr. Тоді матрицяAможна подати у вигляді добутку двох матриць:

де B m×r матриця рангуrіC - r×nматриця рангуr.

Для скелетного розкладання матриціA, як рядки матриціСдостатньо взятиrлінійно незалежних рядків матриціA. Тоді кожен рядок матриціBможна знайти з наступних систем лінійних рівнянь:

деAi - i-ий рядок матриціA, Bi - i-ий рядок матриціB.

Так якCматриця повного рангу і складений з векторів рядків матриціA, то матрицюBможна обчислити з наступного рівняння:

деС +псевдозворотна до матриціCобчислюється з виразу

Розглянемо процес скелетного розкладання на чисельному прикладі.

Приклад скелетного розкладання матриці

Наведемо скелетне розкладання матриці

Для визначення лінійно незалежних рядків матриціA, застосуємо метод виключення Гауса. Тоді матрицяAнабуде наступного вигляду:

Після другого кроку виключення Гауса, маємо:

Отже, третій рядок лінійно залежить. МатрицяCбудується з усіх лінійно незалежних векторів рядків матриціA:

Нарешті, матрицяBобчислюється з виразу (2):

Скелетне розкладання матриці онлайн

Для скелетного розкладання матриці користуйтеся онлайн калькулятором. Для цього побудуйте матрицю потрібного порядку та введітьдані. Далі натисніть кнопку "скелетне розкладання". У матрицяхPіQви отримаєте результат. Зазначимо, що для матрицьA,PіQсправедлива рівністьA=PQ.

---