Слабка безперервність - Технічний словник Том II
Слабка безперервність випливає із сильної безперервності. Слабу безперервність b як лінійної форми на Е легко встановити за допомогою теореми 8.5.1. Дійсно, оскільки простір Е сепарабельний, то слабка топологія в U (U - околиця нуля в Е) метризується. Про слабку безперервність оператора Немицького в узагальнених просторах Орлича, Уч. Безперервність і слабка безперервність оператора В - на Тал очевидні. Іноді використовують поняття слабкої безперервності та слабкої диференціювання вектор-функції. Якщо х (t) слабо безперервна при даному t, то х (t) обмежена в околиці цієї точки. Якщо х (t) слабо диференційована в проміжку (а, Ь) і слабка похідна тотожно дорівнює нулю, то вектор-функція х (t) постійна. Неважко бачити, що для безперервності [слабкої безперервності] функціоналу необхідно і достатньо, щоб він був напівбезперервний [слабко напівбезперервний] як зверху, так і знизу. Якщо в перелічених вище умовах обмеження, які забезпечують слабку безперервність вектор-функції (6.32), замінити припущенням про її сильну безперервність, то ми отримаємо ознаку повної безперервності інтегрального оператора. В умовах леми властивість (7.10) виконується за всіх А без вимоги слабкої безперервності. У силу леми 4.2 оператор D визначений і має властивість повної або слабкої безперервності, якщо оператор А відповідно цілком або слабо безперервний. Як ми вже зазначали, з безперервності лінійного відображення і: E - F випливає його слабка безперервність (так що відображення і. Зворотне твердження, взагалі кажучи, не має місця, проте в двох теоремах, що наводяться нижче, містяться деякі результати в цьому напрямку. Покірний посилив теореми 3.7, 3.9 та 3.12, звільнившись від припущення про повнубезперервності (або слабкої безперервності) операторів, що вивчаються. У § 22 встановлюється пропозиція про рівномірну безперервність дуального відображення на будь-якій обмеженій множині, з'ясовується питання про слабку безперервність цього відображення і доводиться ряд допоміжних пропозицій, за допомогою яких встановлюються основні теореми про розв'язання рівнянь з нелінійними акретивними операторами. Покажемо, що слабка диференційованість в точці v0 функції cpv зі значеннями в основному просторі або сполученому до нього тягне її сильну і слабку безперервність у цій точці. Ра - слабо безперервна ліворуч функція аргументу а: Ра-о - Ра (а 0) - Точкага, 0 буде точкою слабкої безперервності праворуч: Ра о Ра в тому і тільки в тому випадку, коли М (ха о 0) М (ха 0 - 0), тобто коли точки яа 0 і яа 0 суть точки безперервності функції М (х) і між ними функція М (х) зберігає постійне значення. E) вимірних початкових даних гладкими функціями, на яких рівномірно виконані необхідні умови теореми оцінки функцій г ген - Переходячи до межі (7.39) за підпослідовністю рішень, відповідних гладким початковим даним з урахуванням слабкої безперервності оператора S, отримуємо остаточне затвердження.