Слабкий закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність (послідовне перерахування) однаково розподілених та некорельованих випадкових величин, визначених на одному ймовірнісному просторі. Тобто їхковаріація. Нехай. ПозначимоSnвибіркове середнє першихnчленів:

Тоді.

Посилений закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, визначених на одному ймовірнісному просторі. Нехай. ПозначимоSnвибіркове середнє першихnчленів:

Тоді майже мабуть.

25. Точкові оцінки параметрів розподілу.

Нехай потрібно вивчити кількісну ознаку генеральної сукупності. Припустимо, що з теоретичних міркувань вдалося встановити, який саме розподіл має ознаку. Виникає завдання оцінки параметрів, якими визначається цей розподіл.

Зазвичай у розпорядженні дослідника є лише дані вибірки, отримані в результаті n спостережень (тут і далі спостереження передбачаються незалежними). Через ці дані і виражають оцінюваний параметр. Розглядаючи значення кількісної ознаки як незалежні випадкові величини, можна сказати, що знайти статистичну оцінку невідомого параметра теоретичного розподілу - це означає знайти функцію від випадкових величин, що спостерігаються, яка і дає наближене значення оцінюваного параметра.

Отже, статистичною оцінкою невідомого параметра теоретичного розподілу називають функцію від випадкових величин, що спостерігаються.

Для того щоб статистичні оцінки давали «хороші» наближення параметрів, що оцінюються, вони повинні задовольняти певним вимогам: оцінка повиннабути незміщеною, ефективною та заможною.

Пояснимо кожне з понять.

Несмещенной називають статистичну оцінку Q * , математичне очікування якої дорівнює параметру Q, що оцінюється при будь-якому обсязі вибірки, тобто.

Зміщеною називають оцінку, математичне очікування якої не дорівнює параметру, що оцінюється.

Ефективною називають статистичну оцінку, яка (за заданого обсягу вибірки п) має найменшу можливу дисперсію.

Під час розгляду вибірок великого обсягу (n велико!) до статистичних оцінок пред'являється вимога спроможності.

Заможною називають статистичну оцінку, яка при п ® прагне по ймовірності до оцінюваного параметра. Наприклад, якщо дисперсія незміщеної оцінки при п ® прагне до нуля, то така оцінка виявляється і заможною.

Розглянемо точкові оцінки властивостей розподілу, тобто.