Сніжинки та крива Коха - Систематизація застосування фракталу в моделюванні
Для побудови сніжинки Коха виконаємо наступні операції. Розглянемо як нульову ітерацію пряму.
Потім пряму розділимо на три рівні частини, приберемо середню частину і в середині добудуємо рівносторонній трикутник так. як зображено на рис.На наступному кроці такій же процедурі розподілу на три рівні частини і добудовування рівностороннього трикутника, і так до нескінченності. В результаті виникає симетрична, нескінченно зламана крива яка є самоподібною множиною, яка називається кривою Коха. Вона була так названа на честь шведського математика Helge von Koch, який вперше описав її в 1904 році. стикаються" один з одним.
Підрахуємо її фрактальну розмірність. Візьмемо як довжину прямоїl= 1, то фрагмент буде складатися з чотирьох відрізків, кожної довжини1/3 і, отже, загальної довжини 4/3. На наступному кроці отримуємо ламану, що складається з 16 відрізків і має загальну довжину 16/9 або і т.д.
Ця величина більше одиниці (топологічної розмірності лінії, Dt=1), але менше Евклидовой розмірності площини, d = 2, де розташована крива отже тепер можна, використовуючи визначення фрактала, сміливо стверджувати, що це безліч - фрактал.
Для побудови сніжинки Коха виконаємо наступні операції. Розглянемо як нульову ітерацію рівносторонній трикутник.
Потім кожну зі сторін цього трикутника розділимо на три рівні частини, приберемо середню частину і всередині добудуємо рівносторонній трикутник так, як зображено на рис. наНаступний крок такої ж процедури поділу на три рівні частини і добудовування рівностороннього трикутника піддається кожна зі сторін нової фігури, і так до нескінченності. В результаті виникає симетрична, схожа на сніжинку, нескінченно зламана крива, яка є самоподібною множиною, званою сніжинкою Коха. Вона була так названа на честь шведського математика Helge von Koch, який вперше описав її в 1904 році. стикаються" один з одним.
Підрахуємо її фрактальну розмірність. Візьмемо як довжину сторони вихідного трикутникаl= 1, фрагмент буде складатися з чотирьох відрізків, кожної довжини 1/3 і, отже, загальної довжини 4/3. На наступному кроці отримуємо ламану, що складається з 16 відрізків і має загальну довжину 16/9 або т. д. Від сюди слідує, що фрактальна розмірність дорівнює
Ця величина більше одиниці (топологічної розмірності лінії), але менша за Евклідову розмірність площини, d = 2, на якій розташована крива. Звернемо увагу на те, що крива, що отримується в результаті n-ї ітерації при будь-якому кінцевому n, називається предфракталом, і лише при n, що прагне до нескінченності, крива Коха стає фракталом. Таким чином, сніжинка Коха є лінією нескінченної довжини, що обмежує кінцеву площу. Використовуючи визначення фракталу, сміливо стверджувати, що це безліч – фрактал.