Сопромат - вирішення завдань
Меню сайту
Розрахунок геометричних характеристик перерізів он-лайнNEW- вважає будь-які перерізи (складні). Визначає: площу перерізу, моменти інерції, моменти опору.
Розрахунок балок на міцність он-лайн- побудова епюр Mx, Qy, знаходження максимального згинального моменту Mx, максимальної зсувної сили Qy, розрахунок прогинів, підбір профілю та ін Все просто, все он-лайн. + Повнерозписане рішення! Тепер і длястатично невизначенихбалок!
Розрахунок рам, ферм балок он-лайнNEW- епюри Q, M, N, переміщення вузлів. Зручний графічний інтерфейс. Вважає будь-які схеми.
Лекції – теорія, практика, завдання.
Довідкова інформація - ГОСТи, сортамент прокату, властивості матеріалів та інше.
Програми по сопромату (побудова епюр, різні калькулятори, шпори та інше).
Книжки – різна література на тему.
Базовий курс лекцій з сопромату, теорія, практика, завдання.
2.5. Кручення тонкостінних стрижнів замкнутого профілю.
Значно жорсткішим і тому доцільнішим при крученні є тонкостінні стрижні замкнутого профілю.
Розглянемо циліндричний стрижень, поперечний переріз якого представлено на рис. 2.14. Товщину стінки вважатимемо плавно змінюється вздовж лінії контуру, отже концентрацію напруг можна враховувати.
Геометричне місце точок, рівновіддалених від зовнішнього та внутрішнього контурів поперечного перерізу, називається середньою лінією перерізу.
Зважаючи на незначну товщину стінки можна прийняти, що дотичні напруги, що виникають при крученні, будуть рівномірно розподілені по товщині стінки і направлені по дотичній до середньої лінії перерізу.
Можна, можливопоказати також, що дотик дотичного напруги в будь-якій точці стінки на її товщину є величина, постійна для всіх точок осьової лінії контуру перерізу, тобто.
Для цього достатньо розглянути умову рівноваги будь-якого елемента стрижня, наприклад, елемента 1234 (рис. 2.14).
У поздовжньому перерізі 1-4 діє парна дотична напруга, у перерізі 2-3 - парна дотична напруга
Спроектувавши сили, які діють елемент, на напрям осі стрижня, отримаємо .
Оскільки точки 3 і 4 взяті довільно, то
Тепер можна зв'язати величину дотичної напруги з крутним моментом, що виникає в перерізі.
Сила, що діє на елементарну площу (рис. 2.14), дорівнює, очевидно, а крутний момент цієї елементарної сили щодо довільної точки О, що лежить в площині перерізу, дорівнює відносно точки О.
Сума моментів щодо осі, що паралельно утворює стрижня і проходить через точку О, дорівнює крутному моменту
де інтегрування поширюється протягом усього довжину контуру s; але добуток pds дорівнює подвоєної площі трикутника O ab ; pds = 2dA. Отже,
Твір як величину постійну, можна винести за знак інтеграла. Під інтегралом залишається вираз, що являє собою площу суцільного перерізу, обмеженого середньою лінією перерізу. Тоді
(2.36)
(2.37)
Найбільша напруга буде в тому місці, де товщина стінки мінімальна
(2.38)
Кут закручування для стрижня довжиною l визначимо з умови, що робота зовнішнього моменту, що скручує, дорівнює роботі внутрішніх сил. Робота зовнішнього статично прикладеного моменту на кутовому переміщенні дорівнює
Обчислимо тепер потенційну енергію деформації,чисельно рівну роботі внутрішніх сил.
Потенційна енергія для елемента обсягом становитиме
де l – довжина стрижня.
Повна потенційна енергія енергія для всього стрижня дорівнює
Інтегрування проводиться за довжиною контуру s перерізу.
Замінюючи його значенням із формули (2.37), знайдемо
Винесемо постійні величини за знак інтегралу
Враховуючи, що потенційна енергія U чисельно дорівнює роботі W зовнішнього моменту, отримаємо Т к = Т
(2.39)
Приклад 2.3.Визначити найбільшу напругу та кут закручування трубчастого стрижня (рис. 2.15), якщо Т к = Т = 1500 Н * м, G = 80000 МПа.
Рішення. За формулою (2.38) знаходимо
За формулою (2.39) визначимо кут закручування на довжині 1 м
Приклад 2.4.Визначити найбільшу напругу та кут закручування того ж стрижня, якщо профіль буде відкритим (тобто якщо контур в одному місці буде розрізаний).
Рішення. Напруга визначаємо за формулою (2.34):
Зауважимо, що цей результат має сенс лише для стрижня, виготовленого з легованої сталі, що має межу пропорційності при чистому зрушенні не нижче за знайдену величину, тому що всі формули цього розділу справедливі лише в межах дії закону Гука.
Кут закручування визначаємо за формулою (2.35)
Порівняння результатів двох розглянутих прикладів підтверджує переваги стрижнів замкнутого профілю порівняно зі стрижнями відкритого профілю під час роботи на кручення.