Сплеск, який швидко згасає
Як за допомогою відкриття, яке заслужило Абелівську премію, відремонтувати давньоримський водопровід
Абелівська премія вручається з 2003 року Норвезькою академією наук. Лауреати визначаються на основі рекомендацій комітету премії, до якого входять п'ять математиків, визнаних на міжнародному рівні. Цього року членами комітету були Джон Рогнес, Марта Санс-Соле, Луїджі Амбросіо, Марі-Франс Вінера та Бен Грін. Розмір премії складає шість мільйонів норвезьких крон (40700000 рублів).
N+1: Як правильніше перекласти термінwavelet — вейвлет чи сплеск?
Володимир Протасов:Можна і так і так. «Сплеск» трохи популярніший. Свого часу були великі дискусії з цього приводу. Фахівець з теорії наближень, Костянтин Ілліч Осколков, він працює в університеті Південної Кароліни, він і вигадав це слово - сплеск. Хотіли назвати «хвиля» чи якось ще, але прижилося слово «сплеск». Іноді кажуть "вейвлет", але мені, наприклад, "сплеск" більше подобається.
Дуже хочеться зрозуміти, як кажуть, «на пальцях», що це таке. Виникає відчуття, що сплески — це дуже близьке до перетворення Фур'є. Це так?
Це з тим, що синус і косинус — функції, що у перетворення Фур'є, — рівномірні по всій прямий. Вони не спадають на нескінченності. Якщо ми хочемо створити систему функцій, розкладання по якій чутливе до шуму, яке показувало б, де знаходиться шум, і дозволяло його видалити, нам треба вибрати локалізовані функції. Тобто вони повинні зменшуватися: що більше t (час), то менше значення функції. Наприклад, 1/t, 1/t 2 , e - t. Це по-перше.
По-друге, хотілося б мати певну структуру цих функцій.Щоб вони були якось пов'язані один з одним. Є така техніка швидкого перетворення Фур'є, яка дозволяє обчислювати коефіцієнти розкладання за допомогою зв'язку (рекурентного співвідношення) за дуже короткий час. Хотілося б цю властивість також зберегти, а якщо можливо – покращити.
Перша така система функцій з'явилася 1909 року поза контекстом будь-яких додатків. Її вигадав угорський математик Альфред Хаар. Він вигадав таку систему функцій, яка складається з шматково-постійних сходів. За ними можна розкладати будь-яку функцію і навіть робити перетворення, аналогічні до перетворення Фур'є. Вони досі широко використовуються, але мають істотний недолік. Ця система складається з розривних функцій (грубо кажучи, у їхньому графіку є розриви). Через це виникає багато незручностей - вона повільно сходить, тобто для хорошого наближення функції потрібно зберігати багато коефіцієнтів розкладання Хаара. Крім того, не дуже добре наближати розривні функції якісь процеси реального світу, тому що всі процеси в реальному світі безперервні.
Система Мейєра виявилася дуже зручною. Функції в ній прасують нікуди — аналітичні, і при цьому вони дуже швидко зменшуються на нескінченності.
А можна якось уявити графічно, на що схожі сплески?
Давайте спробуєм. Візьмемо гіперболу – 1/x – і впишемо до неї синусоїду. Вийде синусоїда з загасаючими коливаннями. Посередині у неї буде відчутний горбок - це така парна функція, яка велика в нулі і далі коливається точно як синус і повільно згасає як гіпербола. Це одна з функцій Шеннона Котельникова. Інші функції - це її двійкові стискування (стиснення в 2 n разів) та цілі зрушення. За такою рахунковою системою функцій можна розкладати або наближати будь-якуфункцію.
Функції в системі Мейєра виглядають схоже - практично так само, але загасання відбувається набагато швидше. Третє-четверте коливання у ній вже несуттєві. Це такий високий горбок, влаштований як косинус, але загасаючий набагато швидше, ніж 1/x. Такий справді сплеск у нулі, який дуже швидко згасає. Функція існує по всій прямий, але за x=2, 3 вона дуже мала. Це саме така хвилечка, а не хвиля, яка, як синус, по всьому морю поширюється. Тут саме сплеск — ніби камінь кинули, і в одному місці виник сплеск, а далі йде маленька хвиля, яка згасає.
Кажуть, що Абелевська премія – це «Нобель» у математиці. Одна з вимог до робіт, за які дають Нобелівську премію, – це практичне застосування відкриття. Торік "Абеля" дали за доказ Великої теореми Ферма. Таке відчуття, що результати, за які вручено нову премію, набагато «прикладніші».
Так. Вони використовуються в алгоритмах стиснення та зберігання інформації та у чисельних рішеннях диференціальних рівнянь. Але швидше за Мейєр подолав якийсь психологічний бар'єр, показавши, що такі функції взагалі можна будувати. Хаар — це 1909 рік, а Мейєр — 1986-й. Між ними була система Шеннона-Котельникова, але вона була певною мірою природною. Володимир Котельников навіть був математиком — він був радіоінженером. І свою систему він вигадав із технічних передумов, він взяв їх із життя. Система Мейєра - суто математична конструкція. Дуже нетривіальна, дотепна і штучна. Мейєр показав, що такими штучними математичними конструкціями і треба будувати нові системи. Це в якомусь сенсі означало, що не треба боятися використати речі,які є грою розуму. Не треба шукати їх у природі – їх може й не бути. Після Мейєра різні системи сплесків почали з'являтися у великій кількості щорічно. Нині їх уже стільки, що вистачить на всі випадки життя.
Я читав, що аналіз сплесків використовується при пошуку гравітаційних хвиль, наприклад. Зараз це вже стало якоюсь загальноприйнятою технікою?
Не зовсім. Це все-таки залежить від конкретного завдання. Ось, скажімо, формат JPEG2000 вже повністю ґрунтується на вейвлет-перетвореннях. Але іноді для різних класів зображень там застосовуються інші методи - перетворення Габора, віконне перетворення Фур'є та інші. Метод сплесків – потужний, але не один, є й інші. Все залежить від завдання.
Декілька років тому я був запрошеним професором в Університеті Ейндховена. Там ми консультували групу математиків із Італії. Вони мали завдання про старовинні водопроводи. У маленькому місті є водогін, який був збудований ще давніми римлянами і сьогодні іноді ламається. Де слабкі місця в цій системі не дуже зрозуміло — розкопувати старовинну частину міста не дозволяється. Тому єдине, що можна зробити — подати у водопровід воду і акуратно виміряти тиск, гідродинамічний удар. І з цього гідродинамічного удару потрібно розрахувати місце, де сталася текти. А вона може розташовуватися за сто метрів від місця, де ми поставили датчик. Виходить хвильове рівняння, яке необхідно вирішити, а гідродинамічний удар – це той самий шум, який потрібно локалізувати. Це така функція-стрибок. І вони шукали рішення за допомогою систем сплесків. Тобто передбачуване рішення представлялося як сума кількох сплеск-функций, потім обчислювалися коефіцієнти і з них був дуже великим. Тут же вони розуміли з точністю дометра, де стався прорив і де можна копати та лагодити. Вийшло практичне завдання, над яким довелося попрацювати досить довго.
Я також знаю, що вейвлет перетворення використовуються в сканерах в аеропортах, при скануванні багажу. Але там використовуються не обов'язково мейєрівські сплески. Коли сканер виявляє дрібну залізницю у багажі, вейвлет-перетворення допомагає локалізувати сигнал від неї. Це я обговорював із колегами, які брали участь у розробці цих програм — що там добре себе зарекомендували саме системи сплесків.
А що зараз відбувається в теорії вейвлет-перетворень?
Ейфорія і найбурхливіший розвиток теорії сплесків припав на кінець 1990-х — початок 2000-х років. Можна сказати, стався сплеск(сміється). Якщо згадати графік функції Мейєра, то ми зараз йде таке згасання інтересу. Проте у всій цій теорії питань залишилося більше, ніж відповідей. Систем сплесків дійсно побудовано дуже багато, і вони зарекомендували себе в різних завданнях, але зараз спостерігається застій. Існували й інші підходи, засновані на тому, що можна обмежувати перетворення Фур'є — так звані віконні перетворення. У деяких завданнях, пов'язаних з Інтернетом та передачею зображення, модернізоване віконне перетворення Фур'є, у свою чергу, витісняє сплески.
Крім того, дуже багато питань залишилося з приводу того, як побудувати систему сплесків на площині чи просторі. Те, про що ми говорили, це система сплесків на прямій. Це необхідно, наприклад, для тієї ж самої комп'ютерної томографії. Якщо ми візьмемо просто один сплеск Мейєра по осіxта інший сплеск по осіyі просто їх перемножимо, ми теж отримаємо сплеск-функцію. Але вона буде незручною і не матимена площині тими ж добрими властивостями, що і на прямій. Вони далеко не оптимальні. Крім того, для ряду завдань потрібні системи функцій, що мають у просторі певну симетрію, наприклад сферичну, щоб ці функції можна було, наприклад, обертати. Дизайн таких функцій це також самостійне завдання.