Способи знаходження зворотних матриць за допомогою матриці додатків алгебри

Нехай $A$ - квадратна матриця порядку $n$, матриця $A^$ задовольняє рівності $$A*A^ = A^*A = E$$ називається зворотною матрицею матриці $A$, а матриця (A) - називається оборотною, в іншому випадку незворотною. Матриця (E) - одинична матриця.

З визначення слід, що й зворотна матриця $A^$ існує, вона квадратна тієї самої порядку, як і $A$. Однак не для будь-якої матриці існує зворотна. Якщо визначник матриці $\det A = 0$, то тієї матриці немає зворотної. Це єдина умова для існування зворотної матриці. Квадратна матриця, визначник якої дорівнює 0 називаєтьсявиродженою (особливою), в іншому випадкуневиродженою (неособливою).

Розглянемо два способи знаходження зворотних матриць: 1.Перший спосіб: за допомогою матриці додатків алгебри. 2.Другий спосіб: за допомогою методу Гауса-Жордана.

Алгоритм знаходження зворотної матриці за допомогою матриці алгебраїчних доповнень.

1. Обчислюємо визначник (det A) даної матриці. Якщо $\det A = 0$, то зворотної матриці немає (матриця $A$ вироджена). 2. Складаємо матрицю $A_$ з додатків алгебри $A_ = (-1)^M_$ елементів матриця $A$. 3. Транспонуємо матрицю $A_$, отримуємо приєднану матрицю $A^= (A_)^T$. 4. Отримуємо зворотну матрицю шляхом поділу приєднаної матриці на визначник $\det A$ $$A_ = \fracA^$$

Розглянемо алгоритм з прикладу:

Дана матриця $$A =\left(\begin5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end\right) $$Знайти зворотну матрицю .

Рішення : Діємо згідно з описаним алгоритмом. 1.Обчислюємо визначник цієї матриці використовуючи правило трикутника $$\det A = \left\begin5& 8 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end\right = 5 * 3 * 3 + 8 * 2 * 1 + 2 * 2 * 1 - 1 * 3 * 1 - 2 * 8 * 3 - 5 * 2 * 2 = 45 + 16 + 4 - 3 - 48 - 20 = -6$$ Отримали $\det A \ne 0$, матрицяневироджена, тобто. має зворотну. Продовжуємо далі. 2. знаходимо алгебраїчні доповнення даної матриці. перший рядок$$\begin A_ = (-1)^ \left\begin3 & 2\\ 2 & 3 \ end \ right = 9-4 = 5 & A_ = (-1)^ \left\begin2 & 2\\ 1 & 3\end\right = (-1)(2*3-2*1) = -4 & A_ = (-1)^ \left\begin2 & 3\\ 1 & 2\end\right = 2*2-3*1 = 1 \end$$другий рядок$$\begin A_ = (-1)^ \left\begin8 & 1\\ 2 & 3\end\right = (-1)(8*3-2*1) = -22 &<;>4_A_ = (-1)^ \left\begin5 & 1\\ 1 & 3 \ end \ right = 5 * 3-1 * 1 = 14 & amp; A_ = (-1) ^ \ left \ begin5 & amp; 8\\ 1 & 2\end\right = (-1)(5*2-8*1) = -2\end$$третій рядок$$\begin A_ = (-1)^ \left\begin8 & 1\\ 3 & 2 \ end \ right = 8 * 2-3 * 1 = 13 & A; = (-1) ^ \ left \ begin5 & 2\\ 1 & 2\end\right = (-1)(5*2-2*1) = -8 &<;>4_A_ = (-1)^ \left\begin5 & 8\\ 2 & 3\end\right = 5*3-8*2 = -1\end$$ Складаємо з них матрицю $$(A_) = \left(\begin5 & -4 & 1\\ -22 & 14 -2 \ 13 -8 -8 -1 \end \right)$$ 3. Транспонуємо матрицю $(A_)$, отримуємо приєднану матрицю $$A^ = (A_)^T = \left(\begin5 & -22 & 13\\ -4 & 14 & -8 \\ 1 -2 -2 \end\right)$$ 4. Розділивши приєднану матрицю на визначник $\det A = -6$, отримаємо зворотну матрицю $$A^ = \fracA^ = \frac*\left(\begin5 & 22 & 13\\ -4 & 14 & -8 \\ 1 &-2 &-1\end\right) = \left(\begin -\frac & \frac & \\ -\frac &\frac &\frac\end\right) $$