Стабілізуючий функціонал - Велика Енциклопедія Нафти та Газа
Стабілізуючий функціонал
Стабілізуючі функціонали такого виду є природним узагальненням функціоналів Q [/], використаних нами в гол. [1]
Стабілізуючий функціонал (стабілізатор) Q [у] зазвичай записується у вигляді [30, 659] (пор. [2]
Вибір стабілізуючого функціоналу Q [z] часто підказується характером завдання (див., наприклад, гл. Однак у ряді випадків вибір його неоднозначний. [3]
Остання полягає в мінімізації стабілізуючого функціоналу на множині рішень всіх завдань цього сімейства. [4]
Для систем рівнянь він полягає в мінімізації стабілізуючого функціоналу в просторі змінних (ху), пов'язаних рівняннями системи, що розв'язується, і додатковими обмеженнями на варіації вихідних даних. Обмеження на вихідні дані породжуються інформацією про їх похибки. Для наведених прикладів з [35] ми вважатимемо, що задані значення S є одночасно відомими реалізаціями у S і оцінкою рівня їх похибки. [5]
При розгляді безлічі можливих рішень у класі гладких функцій стабілізуючий функціонал можна брати в просторах Соболєва К. Приналежність шуканого рішення множині двічі безперервно диференційованих на L функцій (pk (х) е С2), наприклад у разі плоскої або осі симетричної задачі, дозволяє вибрати ста функціонал у просторі W, що забезпечує при S - Про рівномірну збіжність самого рішення та його першої та другої похідних. Тут необхідно помітити, що при експериментальних дослідженнях, як правило, в завдання входить визначення напруги, а не їх похідних, так що вимоги, що накладаються на вибір безлічі коректності наявної апріорної інформації, можуть бути ослаблені. УНайчастіше досить гарантувати при 6 - 0 рівномірну збіжність лише рішення, а збіжність похідних то, можливо слабшою. Вибір стабілізуючого функціоналу у просторі WjOIPfc OO ljt / 1 / Pk ( x -) ( ф ( Х) А & 02 ] Я ( Х)) забезпечує для шуканої функції рівномірну, а для похідних - середньоквадратичну збіжність. [6]
При розгляді безлічі можливих рішень у класі гладких функцій стабілізуючий функціонал можна брати в просторах Соболєва Iff, ap вибирати з теорем вкладення [15] в залежності від розмірності задачі та необхідного порядку гладкості рішення, що шукається. Приналежність шуканого рішення множині двічі безперервно диференційованих на L функцій (Pk() 6 2) наприклад у разі плоскої або осі симетричної задачі, дозволяє вибрати стабілізуючий функціонал у просторі W, що забезпечує при 6 - Про рівномірну збіжність самого рішення та його першої та другої похідних . Тут необхідно помітити, що при експериментальних дослідженнях, як правило, в завдання входить визначення напруги, а не їх похідних, так що вимоги, що накладаються на вибір безлічі коректності наявної апріорної інформації, можуть бути ослаблені. Найчастіше досить гарантувати при 6 - 0 рівномірну збіжність лише рішення, а збіжність похідних то, можливо слабшою. [7]
Згаданий вище відбір можливих рішень можна здійснювати за допомогою функцій, що стабілізують , і реалізується він наступним чином. [8]
Доказ існування регуляризуючих операторів, одержуваних варіаційним способом шляхом мінімізації стабілізуючих функціоналів Q [z], проводиться абсолютно аналогічно до розглянутого раніше випадку, коли оператор А відомий точно. [9]
Нехай безліч Fналежить F, F з: F, і Q [z] - стабілізуючий функціонал. [10]
Нехай А - безперервний оператор з лінійного метричного простору F в метричний простір U і Q [z] - стабілізуючий функціонал, визначений на множині F з F, що породжує простір Гільберта F з мажорантною метрикою. [11]
Нехай Ah - безперервний оператор з лінійного метричного простору F в метричний простір U і Q [z] - стабілізуючий функціонал, що породжує простір Гільберта FI з мажорантною метрикою. [12]
У 1980 р. А.Н.Тихонов [15] ( див. також [16]) для систем лінійних рівнянь з наближеними матрицями запропонував новий метод регуляризації, згідно з яким рішення вихідної некоректної задачі замінюється мінімізацією стабілізуючого функціоналу ( критерію відбору) на об'єднаному множині всіх подібних завдань із даними, еквівалентними за точністю даних вихідної задачі. Перехід до такого завдання концептуально відрізняється від згаданих вище традиційних методів регуляризації. Тут не вводяться апріорна множина коректності чи штучні параметри регуляризації. [13]
Нижче доводиться існування елемента г (див. теорему 3), що мінімізує функціонал Ма [z, ue], для довільного безперервного оператора А, що діє з лінійного метричного простору F в метричний простір U, і будь-якого стабілізуючого функціоналу Q [z], визначеного на множині F aF, що породжує гільбертовий простір F з мажорантною метрикою. У наступному параграфі розглядаються умови розв'язності рівняння pv (Aza, кол) б щодо а. Зокрема, доводиться однозначна роздільність його для лінійних безперервних операторів А, якщо простір U гільбертово, функціонал Q [г] при кожному z e FI має не рівну нулю (при z т 0) похідну Фреш Q [z] і &. Отже, у умовах встановлюється реалізованість методу Лагранжа. [14]