1. Площа бічної поверхні циліндра
Нехай дано циліндр (Рис.1). Впишемо в нього правильну n-кутову призму. Площа бічної поверхні призми дорівнює:
де P - периметр основи H - висота
При необмеженому збільшенні n, тобто. числа кутів у багатокутнику основи, його периметр буде наближатися до довжини кола. Отже площа бічної поверхні дорівнюватиме:
де L - довжина кола основи R - радіус основи H - висота циліндра
Таким чином:площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола основи на висоту.
Мал. 1 Площа бічної поверхні циліндра.
2.Об'єм циліндра
Тіло має об'єм, рівний V, якщо існують прості тіла, що містять його, і містяться в ньому прості тіла з об'ємами, мало відрізняються від V.
Нехай дано циліндр висотою H (Рис.2). Побудуємо всередині циліндра призму, основу якої лежить багатокутник, вписаний основу циліндра. І побудуємо призму з основою, де міститься коло, тобто. основа циліндра. Обидві призми мають висоту H - таку саму, як у циліндра. Таким чином, отримаємо дві призми: одна міститься у циліндрі, а інша містить циліндр. В основі обох призм лежать багатокутники, які мають n кутів.
При прагненні n - числа кутів до нескінченності площа основи призм буде наближатися доплощі кола. Оскільки обсяг призми дорівнює добутку площі підстави на висоту, то обсяг циліндра дорівнює:
Отже:об'єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту.
Рис.2 Об'єм циліндра
3. Площа бічної поверхні конуса
Нехай дано конус (Мал.3). Впишемо в конус правильну n – вугільну піраміду. Тоді площа бічної поверхні піраміди дорівнюватиме:
де P - периметр основи l - апофема бічної грані
За бажання n до нескінченності, тобто. при збільшенні числа кутів у багатокутнику основи, периметр буде наближатися до довжини кола, а апофема до довжини утворює. Отже площа бічної поверхні дорівнюватиме:
де С - довжина кола R - радіус кола основи l - довжина утворює
Площа бічної поверхні зрізаного конуса з радіусами основ R1 і R2 розраховується за такою формулою.
де R1 і R2 - радіуси нижньої та верхньої основ l - довжина утворює
Мал. 3 Площа бічної поверхні конуса.
4.Обсяг конуса
Нехай даний конус (Рис.4 a). У площині основи конуса побудуємо правильний багатокутник, вписаний в коло основи конуса. Побудуємо другий правильний багатокутник, який містить основу конуса. На багатокутниках побудуємо піраміди: одна міститься в конусі, а інша містить конус. Багатокутники основ двох пірамід мають n кутів.
При необмеженому збільшенні числа кутів n їхня площа прагнутиме площі кола.
Отже,обсяг конуса дорівнює однієї третини добутку площі основи на висоту.
Усічений конус
Розглянемо теперусічений конус (Рис.4 b). Добудуємо його до повного. Тоді обсяг усіченого конуса дорівнюватиме різниці двох конусів. Нехай h - висота зрізаного конуса, а х - висота повного конуса. R1 і R2 радіуси нижньої та верхньої основ.
Мал. 4 Об'єм конуса.
5. Обсяг тіл обертання
Нехай дано геометричне тіло (рис.5). Якщо провести площину, перпендикулярну до його осі, то в перерізі вийде коло. Тоді можна дати таке визначення:тілом обертання називається тіло, у якого перетин площиною, перпендикулярне його осі, є коло в будь-якій точці перетину площини перерізу та осі.
Приклади тіл обертання: шар, конус, циліндр. Знайдемо формулу розрахунку обсягу тіл обертання.
Проведемо площину через вісь тіла. У цьому площині введемо декартову систему координат. Вісь тіла приймемо за вісь х. Площина перетинає тіло деякою лінії, яка буде функцією f (x), розташованої над віссю ОХ.
Візьмемо точку х на осі і проведемо через неї площину, перпендикулярну до осі Х. Тоді величину об'єму тіла лівіше точки х позначимо як V(x). Тобто. V(x) є функцією від x. Дамо збільшення аргументу Δх. Тоді різниця V (x+Δх) - V(x) буде об'ємом шару тіла товщиною Δх. Тобто. шар, перпендикулярний до осі і лежачий між точками х і х+Δх.
Нехай М2 = f(x+Δх), a M1 = f(x) значення функції у точках х та х+Δх. Тоді обсяг шару товщиною Δх дорівнюватиме різниці обсягів V(x+Δх) - V(x) і буде укладений між малим і великим циліндрами з радіусами М1 і М2. Тобто.
Мал. 5 Об'єм тіл обертання.
6.Обсяг кулі
Куля є тілом обертання, для обчислення об'єму можна застосувати формулу об'єму тіла обертання.
Нехай дано кулю (Рис.6). Проведемо діаметральну площину XY. Площина XY перетинає кулю радіусом R по колу. Окружність задається рівнянням:
Мал. 6 Об'єм кулі.
7.Обсяг кульового сегмента та сектора
Кульовий сегмент - це частина кулі, що відсікається площиною (рис.7).
Щоб розрахувати обсяг кульового сегмента, можна скористатися формулою об'єму тіла обертання. Запишемо:
де R - радіус кулі H - висота кульового сегмента
Об'єм кульового сектора
Тепер розрахуємо обсяг кульового сектора. Кульовим сектором називається тіло, отримане з кульового сегмента та конуса, що мають загальну основу. Вершина конуса знаходиться у центрі кулі. Якщо кульовий сегмент менший за півкулю, то до кульового сегмента додається конус. Якщо сегмент більше півкулі, то конус видаляється. Таким чином, обсяг кульового сектора виходить шляхом складання або віднімання кульового сегмента та конуса. Тоді запишемо:
де R - радіус кулі H - висота відповідного кульового сегмента
Мал. 7 Об'єм кульового сегмента та сектора.
8. Площа сфери
Нехай даний опуклий багатогранник (Рис.8). Розмір кожної грані дуже малий. Сума площ усіх граней приймемо за Sn. Кожна грань є основою піраміди. Якщо ми побудуємо всередині нашого багатогранника кулю радіусом R, то висота кожної піраміди буде радіусом кулі R і сама куля стосуватиметься граней нашого багатогранника. Побудуємо також кулю, яка стосуватиметься вершин граней багатогранника, але вже з радіусом R + ɛ. Таким чином, отримаємо дві кулі: одна міститься в багатограннику, а інша містить багатогранник. Тоді можна знайти наближене значення площіповерхні сфери.
Мал. 8 Площа сфери.
|
9. Приклад 1
Знайдіть об'єм циліндра, вписаного у правильну шестикутну призму, у якої кожне ребро дорівнює 10 м.
Рішення:
Нехай дана правильна шестикутна призма, всі ребра якої дорівнюють 10 м (Рис.9). Звідси випливає, що трикутник АОF рівносторонній. За теоремою Піфагора знайдемо висоту ОК, яка є радіусом вписаного кола:
OK 2 = AO 2 - AK 2 = 10 2 - 5 2 = 100 - 25 = 75
OK = 5 м
Тепер знайдемо площу основи циліндра:
Sос.ц = π R 2 = π (5) 2 = 75 π м 2
Звідси, об'єм циліндра заввишки AA' = 10 м дорівнює:
Vцил. = Sос.ц AA' = 75 π * 10 = 750 π м 3 .
Рис.9 Завдання. Знайдіть об'єм циліндра.
Довжина утворюючої конуса дорівнює 13 м. А довжина кола основи дорівнює 10 π м. Знайдіть об'єм конуса.
Рішення:
Нехай даний конус, що утворює АВ якого дорівнює 13 м (Рис.10). Знайдемо радіус основи з формули:
Звідси, R = Lок.осн. / 2 π = 10 π / 2 π = 5 м
За теоремою Піфагора знайдемо висоту конуса:
BO 2 = AB 2 - AO 2 = 13 2 - 5 2 = 169 - 25 = 144
Знайдемо площу основи:
Sосн. = π R 2 = π * 5 2 = 25 π м 2
Тепер знайдемо обсяг конуса за такою формулою:
Vкон. = BO * Sосн. / 3 = 12 * 25 π / 3 = 100 π м 3 .
Рис.10 Завдання. Довжина утворює конуса дорівнює 13 м-коду.
Площа осьового перерізу зрізаного конуса дорівнює різниці площ основ, а радіуси основ 6 м і 3 м. Знайдіть об'єм конуса.
Рішення:
Нехай дано усічений конус, радіуси основ якого дорівнюють 6 м і 3 м (Рис.11). Площаосьового перерізу усіченого конуса є рівнобокою трапецією. Знайдемо площу осьового перерізу за формулою виходячи з умови задачі:
Sоc.січ. = 2 r H + (R - r) H = π R 2 - π r 2
Звідси, H = π (R 2 - r 2 ) / (R + r) = π (6 2 - 3 2 ) / (6 + 3) = 3 π м
Обсяг зрізаного конуса знайдемо за формулою:
Vус.кон. = π H (R 2 + R r + r 2 ) / 3 = π 3 π (6 2 + 6 * 3 + 3 2 ) / 3 = 63 π 2 м 3 .
Рис.11 Завдання. Площа осьового перерізу зрізаного конуса.
Площина, перпендикулярна діаметру кулі, ділить її на частини 3 м та 9 м. На які частини ділиться об'єм кулі?
Рішення:
Нехай дано кулю, діаметр АВ якої дорівнює 12 м (Рис.12). Площина, перпендикулярна діаметру кулі, ділить її на відрізки АО = 3 м і ОВ = 9 м. Радіус кулі становить: R = (3 + 9) / 2 = 6 м. Знайдемо об'єм усієї кулі за формулою:
Vш. = 4 π R 3 / 3 = 4 π 6 3 / 3 = 288 π м 3
Тепер знайдемо обсяг кульового сегмента:
Vш.сег. 1 = π АО 2 (R - AO / 3) = π 3 2 (6 - 3 / 3) = 45 π м 3
Звідси обсяг другої частини кулі дорівнює:
Vш.сег. 2 = Vш. - Vш.сег. 1 = 288 π - 45 π = 243 π м 3
Таким чином, площина ділить об'єм кулі на дві частини: 45 м3 і 243 м3.
Рис.12 Завдання. Площина перпендикулярна діаметру кулі.
Радіус кулі 15 м. Яку площу має частина її поверхні, видима з точки, віддаленої від центру на 25 м?
Рішення:
Нехай дано кулю, радіус ОВ якого дорівнює 15 м (Рис.13). Видима точка віддалена від центру на відстань АО = 25 м. У прямокутному трикутнику АВО за теоремою Піфагора знайдемо АВ:
AB 2 = AO 2 - OB 2 = 25 2 - 15 2 = 400
Проведемо висоту НД і з двох прямокутних трикутниківАВС та ВОС знайдемо ВС:
|
