Сторінка №108

Сторінка №108.

Підручник:Алгебра та початку математичного аналізу. 10-11 класи. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий рівень) / А. Г. Мордкович. - 10-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2009. - 399 с.: Іл.

OCR-версія сторінки з підручника (текст сторінки, що знаходиться вище):

Тут ми познайомимося з тригонометричними рівняннями спеціального виду, що досить часто зустрічаються на практиці.

Визначення. Рівняння виду a sin х + Ъ cos х = 0 називають однорідним тригонометричним рівнянням першого ступеня; рівняння виду a sin 2 х + Ь sin х cos х + з cos 2 х = 0 називають однорідним тригонометричним рівнянням другого ступеня.

Спочатку поговоримо про розв'язання однорідних тригонометричних рівнянь першого ступеня, причому розглянемо тільки загальний випадок, коли обидва коефіцієнти а і Ъ відмінні від нуля; адже якщо, наприклад, а = 0, рівняння набуває вигляду Ъ cos х = О і окремого обговорення не заслуговує. Аналогічно при Ъ = Про отримуємо: a sin х = 0, що теж вимагає окремого обговорення.

Отже, дано рівняння a sin х + b cos х = 0, де а Ф О, b Ф 0. Розділивши обидві частини рівняння почленно на cos х, отримаємо:

a sin x b cos x 0

Зверніть увагу, що ділити обидві частини рівняння на те саме вираз можна тільки в тому випадку, коли ми впевнені, що цей вираз не звертається в нуль (на 0 ділити не можна). Чи впевнені ми, що у цьому випадку cos х відмінний від нуля? Давайте проаналізуємо. Припустимо, що cos х = 0. Тоді однорідне рівняння a sin х + Ъ cos х = 0 набуде вигляду a sin х = 0, тобто sin х = 0 (адже ви не забули, що коефіцієнт авідмінний від нуля). Виходить, що і cos х = 0, і sin х = 0, а це неможливо, оскільки sinх і cos х звертаються в нуль у різних точках. Отже, в однорідному тригонометричному рівнянні першого ступеня поділ обох частин рівняння на cos х - цілком благополучна операція, яка не призводить до втрати рішень.

Рівняння виду a sin тпх + b cos тпх = 0 також називають однорідними тригонометричними рівняннями першого ступеня. Для вирішення обидві частини рівняння ділять почленно на cos тпх.