Тема 1.13. Рух матеріальної точки. Метод кінетостатики
Мати уявлення про вільні та невільні матеріальні точки, про сили інерції, про використання сили інерції для вирішення технічних завдань.
Знати формули для розрахунку сили інерції при поступальному та обертальному рухах, знати принцип Даламбера та вміти визначати параметри руху з використанням законів динаміки та методу кінетостатики.
Вільна та невільна точки
Матеріальна точка, рух якої у просторі не обмежена будь-якими зв'язками, називається вільною. Завдання вирішуються з допомогою основного закону динаміки.
Матеріальні точки, рух яких обмежений зв'язками, називаються невільними.
Для невільних точок необхідно визначати реакції зв'язків. Ці точки рухаються під впливом активних зусиль і які обмежують рух реакцій зв'язків (пасивних сил).
Невільні матеріальні точки звільняються від зв'язків: зв'язки замінюються їх реакціями. Далі невільні точки можна як вільні (принцип звільнення від зв'язків).
Сила інерції
Інертність - здатність зберігати свій стан незмінним, це внутрішнє властивість всіх матеріальних тіл.
Сила інерції - сила, що виникає при розгоні або гальмуванні тіла (матеріальної точки) і спрямована у зворотний бік від прискорення. Силу інерції можна виміряти, вона прикладена до «зв'язків» — тіл, пов'язаних з тілом, що розганяється або гальмується.
Розраховано, що сила інерції дорівнює
Отже, сили, які діють матеріальні точкиm1іm2(рис. 14.1), при розгоні платформи відповідно рівні
Тіло, що розганяється (платформа з масоют(рис. 14.1)) силу інерції не сприймає, інакше розгін платформи взагалі був би неможливий.
Приобертальному русі (криволинійному) прискорення, що виникає, прийнято представляти у вигляді двох складових: нормальногоапі дотичногоat(рис. 14.2).
Тому при розгляді криволінійного руху можуть виникнути дві складові сили інерції: нормальна та дотична
При рівномірному русі дугою завжди виникає нормальне прискорення, дотичне прискорення дорівнює нулю, тому діє лише нормальна складова сили інерції, спрямована по радіусу з центру дуги (рис. 14.3).
Принцип кінетостатики (принцип Даламбера)
Принцип кінетостатики використовують для спрощення розв'язання низки технічних завдань. Реально сили інерції прикладені до тіл, пов'язаних з тілом, що розганяється (до зв'язків).
Даламбер запропонувавумовно прикладатисилу інерції до тілу, що активно розганяється. Тоді система сил, прикладених до матеріальної точки, стає врівноваженою, і можна під час вирішення завдань динаміки використовувати рівняння статики.
Принцип Даламбера:
Матеріальна точка під дією активних сил, реакцій зв'язків та умовно прикладеної сили інерції знаходиться в рівновазі:
Порядок вирішення задач з використанням принципу Даламбера
- Скласти розрахункову схему.
- Виберіть систему координат.
- З'ясувати напрямок та величину прискорення.
- Умовно докласти чинності інерції.
- Скласти систему рівнянь рівноваги.
- Визначити невідомі величини.
Приклади розв'язування задач
Рішення
Активні сили: рушійна сила, сила тертя, сила тяжіння. Реакція в опоріR. Прикладаємо силу інерції у зворотний від прискорення бік. За принципом Даламбера система сил, що діють на платформу, стає врівноваженою, і можна скласти рівняння рівноваги. Наносимо систему координат та складаємо рівняння проекцій сил.
деFrb- рушійна сила; Fтр – сила тертя;G- сила тяжіння;R -реакція опори;Fmi- сила інерції;f- коефіцієнт тертя.
Приклад 2. Тіло вагою 3500 Н рухається вгору по похилій площині згідно з рівняннямS =0,16t 2(рис.14.5). Визначити величину рушійної сили, якщо коефіцієнт тертя тіла об площинуf= 0,15.
Рішення
1. Складемо розрахункову схему, виберемо систему координат з віссюОхвздовж похилої площини.
Активні сили: рушійна, сила тертя, сила тяжіння. Наносимо реакцію в опорі перпендикулярно до площини. Щоб правильно спрямувати силу інерції, потрібно знати напрям прискорення, визначити це за рівнянням руху.
2. Визначаємо прискорення руху:
a = v' = S"; v = S' =0,32t;a = v' =0,32 м/с 2 > 0.
Силу Fін направимо у зворотний від прискорення бік.
3. За принципом Даламбер складемо рівняння рівноваги:
4. Підставимо всі відомі величини до рівняння рівноваги:
Виразимо невідому силу і розв'яжемо рівняння:
Приклад 3. Графік зміни швидкості ліфта під час підйому відомий (рис. 14.6). Маса ліфта із вантажем 2800 кг. Визначити натяг каната, на якому підвішено ліфт на всіх ділянках підйому.
Рішення
1.Розглянемо ділянку 1 - підйом із прискоренням. Складемо схему сил (рис. 14.7). Рівняння рівноваги кабіни ліфта:
деТ- натяг каната;G- сила тяжіння;FIH- сила інерції, що розтягує канат.
Для визначення прискорення на ділянці 1 врахуємо, що рух на цій ділянці рівнозмінний швидкістьv = vo + at; v0 = 0. Отже, прискорення:
Визначаємо зусилля натягу каната під час підйому з прискоренням
T1 = 2800 (9,81 + 1,25) = 30968H; T1 = 30,97 кН.
2.Розглянемо ділянку 2 - рівномірний підйом.
Прискорення та сила інерції дорівнюють нулю. Натяг каната дорівнює силі тяжіння.
3.Дільниця 3 - підйом із уповільненням.
Прискорення спрямоване у бік, зворотний напрямок підйому. Складемо схему сил (рис. 14.8).
Рівняння рівноваги: FІН3 + Т3 -G = 0.Звідси
Прискорення (уповільнення) у цій ділянці визначається з огляду на те, щоv = 0.
Натяг каната при уповільненні до зупинки:
Т3 = 2800 ^9,81 - 0 = 25144 Н; Г3 – 25,14 кН.
Таким чином, натяг каната змінюється при кожному підйомі та опусканні, канат виходить з ладу внаслідок втоми матеріалу. Працездатність залежить від часу.
Приклад 4. Літак виконує «мертву петлю» при швидкості 160 м/с 2 радіус петлі 1000 м, маса льотчика 75 кг. Визначити величину тиску тіла на крісло у верхній точці «мертвої петлі».
1. Схема сил, що діють на льотчика (рис. 14.9):
деG - сила тяжкості,R - реакція в опорі, FІН п - сила інерції.
Сила тиску льотчика на крісло дорівнює силі тиску опори на льотчика.
Рівняння рівноваги (рух рівномірний по дузі, діє тількинормальне прискорення): F"H - G - R = 0;
Рішення
Активною силою, що діє на рамку, є сила важкості вантажу
Звільнивши рамку від зв'язків, прикладаємо до неї реакції опорVАіVВ(рис. 1.61,6).
Подумки зупинивши рамку, прикладаємо до неї в точці кріплення вантажу відцентрову силу інерції.
Оскільки рамка обертається рівномірно, дотичне прискорення вантажу дорівнює нулю і його прискорення дорівнює нормальному. Відповідно, повна сила інерції дорівнює відцентровій силі інерції вантажу.
Нормальне прискорення спрямовано осі обертання, сила інерції — протилежно (рис. 1.61,6).
Сила інерції та сила тяжіння у заданому положенні вантажу сумуються:
В даному випадку сила тяжіння значно менша за силу інерції і, взагалі кажучи, можна було б силою тяжіння знехтувати.
Складаючи рівняння рівноваги
Рішення
Додаткові динамічні реакціїVА таVв опор балки виникнуть від сили інерції вантажу
Сила інерції спрямована вниз, оскільки прискорення вантажу спрямоване вгору.
Звільняємо балку від зв'язків тазамінюємо їх дію реакціямиVА таVст.
Складаємо рівняння рівноваги:
Вирішуючи рівняння, знаходимо:
Контрольні питання та завдання
1. Поясніть різницю між поняттями «інертність» та «сила інерції».
2. До яких тіл докладена сила інерції, як спрямована і за якою формулою може бути розрахована?
3. У чому полягає принцип кінетостатики?
4. Встановлено рівняння руху матеріальної точкиS= 8,6t2 . Визначте прискорення точки наприкінці десятої секунди руху.
5. Тіло рухається вниз похилою площиною (рис. 14.10). Нанесіть сили, які діють тіло; використовуйте принцип Даламбер, запишіть рівняння рівноваги.
6. Ліфт спускається вниз із прискоренням (рис. 14.11). Нанесіть сили, які діють кабіну ліфта, використовуючи принцип кінетостатики, запишіть рівняння рівноваги.
7. Автомобіль в'їжджає на арочний міст із постійною швидкістюv(рис. 14.12). Нанесіть сили, що діють на автомобіль у середині мосту, використовуючи принцип кінетостатики, запишіть рівняння рівноваги.
8. Дайте відповідь на запитання тестового завдання.