Теорема Геделя про неповноту

Будь-яка система математичних аксіом починаючи з певного рівня складності або внутрішньо суперечлива, або неповна.

У 1900 році в Парижі пройшла Всесвітня конференція математиків, на якій Давид Гільберт (David Hilbert, 1862-1943) виклав у вигляді тез сформульовані ним 23 найважливіші, на його думку, завдання, які потрібно було вирішити вченим-теоретикам Х століття. Під другим номером у його списку значилося одне з тих простих завдань, відповідь на які здається очевидним, поки не копнеш трішки глибше. Говорячи сучасною мовою, це було питання: чи математика є самодостатньою? Друге завдання Гільберта зводилася до необхідності суворо довести, що система аксіом - базових тверджень, які приймаються в математиці за основу без доказів, - досконала і повна, тобто дозволяє математично описати все існуюче. Треба було довести, що можна задати таку систему аксіом, що вони будуть, по-перше, взаємно несуперечливими, а по-друге, з них можна вивести висновок щодо істинності чи хибності будь-якого твердження.

Візьмемо приклад із шкільної геометрії. У стандартній Евклідовій планіметрії (геометрії на площині) можна беззастережно довести, що твердження «сума кутів трикутника дорівнює 180 °» істинно, а твердження «сума кутів трикутника дорівнює 137 °» хибно. Якщо говорити по суті, то в Евклідовій геометрії будь-яке твердження або хибно, або істинно, і третього не дано. І на початку ХХ століття математики наївно вважали, що така ж ситуація має спостерігатися у будь-якій логічно несуперечливій системі.

Іншими словами, якщо можна довести справедливість утвердження«припущення 247 недоведене», то можна довести і справедливість утвердження «припущення 247 доведене». Тобто, повертаючись до формулювання другого завдання Гільберта, якщо система аксіом повна (тобто будь-яке твердження у ній може бути доведено), вона суперечлива.

Єдиним виходом із такої ситуації залишається прийняття неповної системи аксіом. Тобто доводиться миритися з тим, що в контексті будь-якої логічної системи у нас залишаться твердження «типу А», які є свідомо істинними чи хибними, — і ми можемо судити про їхню істинність лише поза рамками прийнятої нами аксіоматики. Якщо ж таких тверджень немає, значить наша аксіоматика суперечлива, і в її рамках неминуче будуть присутні формулювання, які можна одночасно і довести, і спростувати.

Отже, формулювання першої, або слабкої теореми Геделя про неповноту:

Але на цьому Гедель не зупинився, сформулювавши і довівши другу, чи сильну теорему Геделя про неповноту:

Спокійніше було б думати, що теореми Геделя мають абстрактний характер і стосуються не нас, а лише областей піднесеної математичної логіки, проте фактично виявилося, що вони пов'язані з пристроєм людського мозку. Англійський математик і фізик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показав, що теореми Ґеделя можна використовуватиме докази наявності важливих відмінностей між людським мозком і комп'ютером. Сенс його міркування простий. Комп'ютер діє строго логічно і не здатний визначити, істинно чи хибно твердження А, якщо воно виходить за рамки аксіоматики, а такі твердження, згідно з теоремою Геделя, неминуче є. Людина ж, зіткнувшись з таким логічно недоведеним і незаперечним твердженням А, завжди здатна визначити його істинність чихибність - виходячи з повсякденного досвіду. Принаймні у цьому людський мозок перевершує комп'ютер, скований чистими логічними схемами. Людський мозок здатний зрозуміти всю глибину істини, яка полягає в теоремах Геделя, а комп'ютерний — ніколи. Отже, людський мозок є будь-що, але не просто комп'ютер. Він здатний приймати рішення, і тест Т'юрінга пройде успішно.

Цікаво, чи здогадувався Гільберт, як далеко заведуть нас його запитання?